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\headL{Le 13 novembre 2024}
\headC{EntraĂ®nement au Devoir Commun \no 1}
\headR{DurĂ©e : 2 heures}
\footL{LycĂ©e Jean-Baptiste \textsc{Colbert}}
\footC{Classe de 1\iere~3}
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\begin{document}
 

\exo[ThĂ¨me : suites â€” 4 points]


On considĂ¨re la suite $\left(u_n\right)$ dĂ©finie par $u_0 = \numprint{10000}$ et pour tout entier naturel $n$
\[u_{n+1} = 0{,}95u_n + 200.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et vĂ©rifier que $u_2 = \np{9415}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item DĂ©montrer, Ă&nbsp; l'aide d'un raisonnement par rĂ©currence, que pour tout entier naturel $n$
\[u_n &gt;\np{4000}.\]
\item DĂ©montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est dĂ©croissante. 		 	\end{enumerate}
\item  Pour tout entier naturel $n$, on considĂ¨re la suite $\left(v_n\right)$ dĂ©finie par $v_n = u_n -  \np{4000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_0$.
		\item DĂ©montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est gĂ©omĂ©trique de raison Ă©gale Ă&nbsp; $0{,}95$.
		\item En dĂ©duire que pour tout entier naturel $n$ :
\[u_n = \np{4000} + \np{6000} \times 0{,}95^n.\]
		\item Ă‰mettre une conjecture quant Ă&nbsp; la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ? 
	\end{enumerate}
\item En 2020, une espĂ¨ce animale comptait \np{10000} individus. L'Ă©volution observĂ©e les annĂ©es prĂ©cĂ©dentes conduit Ă&nbsp; estimer qu'Ă&nbsp; partir de l'annĂ©e 2021, cette population baissera de 5~\% chaque dĂ©but d'annĂ©e.

Pour ralentir cette baisse, il a Ă©tĂ© dĂ©cidĂ© de rĂ©introduire $200$ individus Ă&nbsp;  la fin de chaque annĂ©e, Ă&nbsp; partir de 2021.

Une responsable d'une association soutenant cette stratĂ©gie affirme que : \og l'espĂ¨ce ne devrait pas s'Ă©teindre, mais malheureusement, nous n'empĂŞcherons pas une disparition de plus de la moitiĂ© de la population \fg.

Que pensez-vous de cette affirmation ? Justifier la rĂ©ponse.
\end{enumerate}



\exo[ThĂ¨me : probablitĂ©s â€” 4 points]

Selon les autoritĂ©s sanitaires d'un pays, 7~\% des habitants sont affectĂ©s par une certaine maladie.

Dans ce pays, un test est mis au point pour dĂ©tecter cette maladie. Ce test a les caractĂ©ristiques suivantes :
\begin{itemize}
\item Pour les individus malades, le test donne un rĂ©sultat nĂ©gatif dans $20 \,\%$ des cas ;
\item Pour les individus sains, le test donne un rĂ©sultat positif dans $1\,\%$ des cas.
\end{itemize}

Une personne est choisie au hasard dans la population et testĂ©e.

On considĂ¨re les Ă©vĂ©nements suivants :
\begin{itemize}
\item $M$ : \og la personne est malade \fg{} ;
\item $T$ : \og le test est positif \fg{}.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilitĂ© de l'Ă©vĂ©nement $M \cap T$. On pourra s'appuyer sur un arbre pondĂ©rĂ©.
\item DĂ©montrer que la probabilitĂ© que le test  de la personne choisie au hasard soit positif, est de $\np{0,0653}$.
\item On considĂ¨re dans cette question que la personne choisie au hasard a eu un test positif.
Quelle est la probabilitĂ© qu'elle soit malade ? On arrondira le rĂ©sultat Ă&nbsp; $10^{-2}$.
\item On choisit des personnes au hasard dans la population. La taille de la population de ce pays permet d'assimiler ce prĂ©lĂ¨vement Ă&nbsp; un tirage avec remise.

On note $X$ la variable alĂ©atoire qui donne le nombre d'individus ayant un test positif parmi les 10 personnes. 
	\begin{enumerate}
		\item PrĂ©ciser la nature et les paramĂ¨tres de la loi de probabilitĂ© suivie par $X$.
		\item DĂ©terminer la probabilitĂ© pour qu'exactement deux personnes aient un test positif. On arrondira le rĂ©sultat Ă&nbsp; $10^{-2}$ prĂ¨s.
	\end{enumerate}	
\end{enumerate}

\exo[ThĂ¨me : gĂ©omĂ©trie dans l'espace â€” 2 points]



Dans l'espace rapportĂ© Ă&nbsp; un repĂ¨re orthonormĂ© $(O,\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ , on considĂ¨re les points
\[A(-1,-1,3),\qquad B(1,1,2),\qquad  C(1,-1,7).\]

On considĂ¨re Ă©galement la droite $\Delta$ passant par les points $D(-1,6,8)$ et $E(11,- 9,2)$.

Pour chacune des questions posĂ©es, quatre affirmations \textbf{dont une seule est correcte} sont proposĂ©es.
Entourer la bonne rĂ©ponse directement sur l'Ă©noncĂ©.

Aucune justification n'est attendue.

Une rĂ©ponse correcte apporte 0,5 point. Une rĂ©ponse incorrecte ou une absence de rĂ©ponse n'enlĂ¨ve pas de point.  


	\begin{enumerate}
		\item Une reprĂ©sentation paramĂ©trique de la droite $\Delta$ est 
\medskip
			
\textbf{a.} $\left\{
		\begin{aligned}
		x&amp;= -1 + 11t\\
		y&amp;= 6 - 9t\\
		z&amp;= 8 +2t\\
		\end{aligned} \right.~(t \in \symbb{R})$
		 \hfill
\textbf{b.} $\left\{
		\begin{aligned}
		x&amp;= -1 + 4t\\
		y&amp;= 6 - 5t\\
		z&amp;= 8 -2t\\
		\end{aligned} \right.~(t \in \symbb{R})$
		\hfill 
\textbf{c.} $\left\{
		\begin{aligned}
		x&amp;= 11 -t\\
		y&amp;= - 9+6t\\
		z&amp;= 2 +8t\\
		\end{aligned} \right.~(t \in \symbb{R})$
		\hfill
 \textbf{d.}
		$\left\{
		\begin{aligned}
		x&amp;= 4 -t\\
		y&amp;= -5 +6t\\
		z&amp;= -2 + 8 t\\
		\end{aligned} \right.~(t \in \symbb{R})$\hfill\null

\bigskip		
		
		\item Lequel de ces points appartient-il Ă&nbsp;  la droite $\Delta$ ?

\medskip
		
		\textbf{a.} Le point $F(-3,1,6)$  
		\hfill \textbf{b.}  Le point $G (5,\:-1{,}5,\:5)$
		\hfill \textbf{c.}  Le point $H (10,-3,10)$ 
		\hfill \textbf{d.} Le point $K (12,-15,-6)$ 

\bigskip

		\item Pour savoir si les points $A$, $B$ et $C$ dĂ©finissent un plan, il faut vĂ©rifier que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ : 
		
\medskip
	
			\textbf{a.} sont colinĂ©aires. 
			\hfill \textbf{b.} sont coplanaires. 
			\hfill \textbf{c.} ne sont pas colinĂ©aires.  
			\hfill \textbf{d.} ne sont pas coplanaires.
			
\bigskip
	
		\item La droite $\Delta$ et le plan (ABC) :

\medskip	
		
		\begin{tabular}{ll}
			\textbf{a.} sont strictement parallĂ¨les.  
			&amp;\textbf{b.} ont une infinitĂ© de points communs.\\[12pt]
			\textbf{c.} sont sĂ©cants en   $I(-13,21,14)$   
			&amp;\textbf{d.} sont sĂ©cants en  $J(3,1,6)$ 
		\end{tabular}
		
		\bigskip
			
\item Les droites $\delta$ et $\delta'$ de reprĂ©sentations paramĂ©triques respectives : 
			
			$ \delta : \left\{
		\begin{aligned}
		x&amp;= -1 + 11k\\
		y&amp;= 6 - 9k\\
		z&amp;= 8 +2k\\
		\end{aligned} \right.~(k \in \symbb{R})$
		 \quad et\quad  $\delta' : \left\{
		\begin{aligned}
		x&amp;= 11 -\ell\\
		y&amp;= - 9+6\ell\\
		z&amp;= 2 +8\ell\\
		\end{aligned} \right.~(\ell \in \symbb{R})$\quad sont : 
		
		\medskip
		
	\begin{tabular}{ll}	
	\textbf{a.} sĂ©cantes au point de coordonnĂ©es $(1,1,1)$. 
	&amp; \textbf{b.} sĂ©cantes au point de coordonnĂ©es $(-12,15,6)$.\\[12pt] 
	\textbf{c.} sĂ©cantes en un autre point
	&amp;\textbf{d.} non sĂ©cantes.  
	\end{tabular}
		
			
\end{enumerate}

\end{document}</pre></body></html>