<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">%%% Copyright (C) 2015-2024 Vincent Goulet
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%%% Attribution-Partage dans les mĂŞmes conditions 4.0
%%% International de Creative Commons.
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\chapter{MathĂ©matiques}
\label{chap:math}


S'il est un domaine oĂą {\LaTeX} brille particuliĂ¨rement, c'est bien
dans la prĂ©paration et la prĂ©sentation d'Ă©quations mathĂ©matiques ---
des plus simples aux plus complexes. AprĂ¨s tout, l'amĂ©lioration de la
qualitĂ© typographique des Ă©quations mathĂ©matiques dans son ouvrage
phare \emph{The Art of Computer Programming} figurait parmi les
objectifs premiers de Knuth lorsqu'il a dĂ©veloppĂ© {\TeX}. Aujourd'hui,
le langage dĂ©veloppĂ© par Knuth pour dĂ©crire les Ă©quations
mathĂ©matiques est devenu une sorte de standard \emph{de facto}.


\section{Principes de base du mode mathĂ©matique}
\label{sec:math:base}

La mise en forme d'Ă©quations mathĂ©matiques requiert d'indiquer Ă&nbsp;
l'ordinateur, dans un langage spĂ©cial, le contenu de celles-ci et la
position des symboles: en exposant, en indice, sous forme de fraction,
etc. L'ordinateur peut ensuite assembler le tout Ă&nbsp; partir de rĂ¨gles
typographiques portant, par exemple, sur la reprĂ©sentation des
variables et des constantes, l'espacement entre les symboles ou la
disposition des Ă©quations selon qu'elles apparaissent au fil du texte
ou hors d'un paragraphe.

On indique Ă&nbsp; {\LaTeX} que l'on change de Â«langageÂ», par l'utilisation
d'un mode mathĂ©matique. Il y a deux grandes maniĂ¨re d'activer le mode
mathĂ©matique:
\begin{enumerate}
\item en insĂ©rant le code entre les symboles \verb=$ $= pour gĂ©nĂ©rer
  une Ă©quation Â«en ligneÂ», ou au fil du texte;
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
on sait que $(a + b)^2 =
a^2 + 2ab + b^2$, d'oĂą
on obtient...
\end{lstlisting}
      \producing
      on sait que $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,$ d'oĂą on obtient...
    \end{texample}
  \end{demo}
\item en utilisant un environnement servant Ă&nbsp; crĂ©er une Ă©quation hors
  paragraphe;
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
on sait que
\begin{equation*}
  (a + b)^2
  = a^2 + 2ab + b^2,
\end{equation*}
d'oĂą on obtient...
\end{lstlisting}
      \producing
      on sait que
      \begin{equation*}
        (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2,
      \end{equation*}
      d'oĂą on obtient...
    \end{texample}
  \end{demo}
\end{enumerate}

Dans l'exemple ci-dessus, l'environnement \Pe{equation*} (tirĂ© du
paquetage \pkg{amsmath}, voir la section suivante) crĂ©e une
Ă©quation hors paragraphe, centrĂ©e sur la ligne et non numĂ©rotĂ©e. Avec
l'environnement \Ie{equation} (donc sans \verb=*= dans le nom),
{\LaTeX} ajoute automatiquement un numĂ©ro d'Ă©quation sĂ©quentiel alignĂ©
sur la marge de droite:
\begin{demo}
  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
on sait que
\begin{equation}
  (a + b)^2 = a^2 + b^2,
\end{equation}
d'oĂą on obtient...
\end{lstlisting}
    \producing
    on sait que
    \begin{equation}
      (a + b)^2 = a^2 + b^2,
    \end{equation}
    d'oĂą on obtient...
  \end{texample}
\end{demo}
Cette disposition est la plus usuelle dans les ouvrages mathĂ©matiques.
Le type de numĂ©rotation diffĂ¨re selon qu'un document comporte des
chapitres ou non.

En mode mathĂ©matique, les chiffres sont automatiquement considĂ©rĂ©s
comme des constantes, les lettres comme des variables et une suite de
lettres comme un produit de variables (nous verrons plus loin comment
reprĂ©senter des fonctions mathĂ©matiques comme $\sin$, $\log$ ou
$\lim$). Ceci a trois consĂ©quences principales:
\begin{enumerate}
\item conformĂ©ment aux conventions typographiques, les chiffres sont
  reprĂ©sentĂ©s en caractĂ¨re \textrm{romain} et les variables, en
  italique;
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$123xyz$
\end{lstlisting}
      \producing
      $123xyz$
    \end{texample}
  \end{demo}
\item l'espace entre les constantes, les variables et les opĂ©rateurs
  mathĂ©matiques est gĂ©rĂ© automatiquement;
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$z = 2 x + 3 x y$
\end{lstlisting}
    \producing
    $z = 2 x + 3 x y$
    \end{texample}
  \end{demo}
\item les espaces dans le code source n'ont aucun impact sur la
  disposition d'une Ă©quation.
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$z=2x + 3xy$
\end{lstlisting}
    \producing
    $z=2x + 3xy$
    \end{texample}
  \end{demo}
\end{enumerate}

Quant au langage retenu par {\LaTeX} pour dĂ©crire les Ă©quations
mathĂ©matiques, il est trĂ¨s similaire Ă&nbsp; celui que l'on utiliserait pour
le faire Ă&nbsp; voix haute. Il faut simplement recourir Ă&nbsp; des commandes
pour identifier les symboles mathĂ©matiques que l'on ne retrouve pas
sur un clavier usuel, comme les lettres grecques, les opĂ©rateurs
d'inĂ©galitĂ© ou les symboles de sommes et d'intĂ©grales.


\section{Un paquetage incontournable}
\label{sec:math:amsmath}

Le paquetage \pkg{amsmath} \citep{amsmath} produit par la
\emph{American Mathematical Society} fournit diverses extensions Ă&nbsp;
{\LaTeX} pour faciliter encore davantage la saisie d'Ă©quations
mathĂ©matiques complexes et en amĂ©liorer la prĂ©sentation. L'utilisation
de ce paquetage doit ĂŞtre considĂ©rĂ©e incontournable pour tout document
contenant plus que quelques Ă©quations trĂ¨s simples.

Au chapitre des amĂ©liorations fournies par \pkg{amsmath}, notons
particuliĂ¨rement:
\begin{itemize}
\item plusieurs environnements pour les Ă©quations hors paragraphe, en
  particulier pour les Ă©quations multilignes;
\item une meilleure gestion de l'espacement autour des symboles de
  relation (comme les signes d'Ă©galitĂ©) dans les Ă©quations
  multilignes;
\item une commande pour faciliter l'entrĂ©e de texte Ă&nbsp; l'intĂ©rieur du
  mode mathĂ©matique;
\item un environnement pour la saisie des matrices et des coefficients
  binomiaux;
\item des commandes pour les intĂ©grales multiples;
\item la possibilitĂ© de dĂ©finir de nouveaux opĂ©rateurs mathĂ©matiques.
\end{itemize}
Je dĂ©cris certaines de ces fonctionnalitĂ©s dans la suite, mais tout
utilisateur du paquetage devrait impĂ©rativement consulter sa %
\doc[documentation complĂ¨te]{amsmath}{https://texdoc.net/pkg/amsmath}.


\section{Principaux Ă©lĂ©ments du mode mathĂ©matique}
\label{sec:math:bases}

Cette section explique comment crĂ©er et assembler divers Ă©lĂ©ments
d'une formule mathĂ©matique: exposants, indices, fractions, texte, etc.
Les seuls symboles utilisĂ©s sont pour le moment les chiffres et les
lettres latines. La prĂ©sentation d'une partie de l'Ă©ventail de
symboles mathĂ©matiques offerts par {\LaTeX} fera l'objet de la
\autoref{sec:math:symboles}.

\subsection{Exposants et indices}
\label{sec:math:bases:exposants}

{\LaTeX} permet de crĂ©er facilement et avec la bonne taille de
symboles n'importe quelle combinaison d'exposants et d'indices.

On place un caractĂ¨re en \textsuperscript{exposant} avec la
commande \cmd{^} et en \textsubscript{indice} avec la commande
\cmd{_}. Les indices et exposants se combinent naturellement.
\begin{demo}
  \def\strut{\rule[-0.4ex]{0pt}{2ex}}
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.6\linewidth]
\begin{lstlisting}
x^2
\end{lstlisting}
      \producing\strut $x^2$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \quad
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.6\linewidth]
\begin{lstlisting}
a_n
\end{lstlisting}
      \producing\strut $a_n$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \quad
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.67\linewidth]
\begin{lstlisting}
x_i^k
\end{lstlisting}
      \producing\strut $x_i^k$
    \end{texample}
  \end{minipage}
\end{demo}
(L'ordre de saisie n'a pas d'importance; le troisiĂ¨me exemple
donnerait le mĂŞme rĂ©sultat avec \verb=x^k_i=.)

Si l'exposant ou l'indice compte plus d'un caractĂ¨re, il faut
regrouper le tout entre accolades \verb={ }=.
\begin{demo}
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.6\linewidth]
\begin{lstlisting}
x^{2k + 1}
\end{lstlisting}
      \producing\strut $x^{2k + 1}$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \quad
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.6\linewidth]
\begin{lstlisting}
x_{i,j}
\end{lstlisting}
      \producing\strut $x_{i,j}$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \quad
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.67\linewidth]
\begin{lstlisting}
x_{ij}^{2n}
\end{lstlisting}
      \producing\strut $x_{ij}^{2n}$
    \end{texample}
  \end{minipage}
\end{demo}

Toutes les combinaisons d'exposants et d'indices sont possibles, y
compris les puissances de puissances ou les indices d'indices.
\begin{demo}
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.6\linewidth]
\begin{lstlisting}
e^{-x^2}
\end{lstlisting}
      \producing\strut $e^{-x^2}$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \quad
  \begin{minipage}{0.6\linewidth}
    \begin{texample}[0.6\linewidth]
\begin{lstlisting}
A_{i_s, k^n}^{y_i}
\end{lstlisting}
      \producing\strut $A_{i_s,k^n}^{y_i}$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \quad \mbox{} % pour alignement avec bloc d'exemples ci-dessus
\end{demo}

\importantbox{Les commandes \cmd{^} et \cmd{_} sont permises dans le
  mode mathĂ©matique seulement. Si {\TeX} rencontre l'une de ces
  commandes en mode texte, il tente automatiquement de passer au
  mode mathĂ©matique aprĂ¨s avoir Ă©mis l'avertissement
  \begin{trivlist} \item\ttfamily
    ! Missing \$ inserted.
  \end{trivlist}
  Il est assez rare que le rĂ©sultat soit celui souhaitĂ©.}

\subsection{Fractions}
\label{sec:math:bases:fractions}

Il y a plusieurs faĂ§ons de reprĂ©senter une fraction selon qu'elle se
trouve au fil du texte, dans une Ă©quation hors paragraphe ou Ă&nbsp;
l'intĂ©rieur d'une autre fraction.

Pour les fractions au fil du texte, il vaut souvent mieux utiliser
simplement la barre oblique Â«\verb=/=Â» pour sĂ©parer le numĂ©rateur du
dĂ©nominateur, quitte Ă&nbsp; utiliser des parenthĂ¨ses. Par exemple, la
saisie \verb=$(n + 1)/2$= gĂ©nĂ¨re le texte $(n + 1)/2$.

De maniĂ¨re plus gĂ©nĂ©rale, la commande
\begin{lstlisting}
\frac`\marg{numĂ©rateur}\marg{dĂ©nominateur}'
\end{lstlisting}
dispose \meta{numĂ©rateur} au-dessus de \meta{dĂ©nominateur}, sĂ©parĂ©s par
une ligne horizontale. La taille des caractĂ¨res s'ajuste
automatiquement selon que la fraction se trouve au fil du texte ou
dans une Ă©quation hors paragraphe, ainsi que selon la position de la
fraction dans l'Ă©quation.
\begin{demo}
  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
% taille au fil du texte
On a $z_1 = \frac{x}{y}$ et
$z_2 = xy$.
\end{lstlisting}
    \producing On a $z_1 = \frac{x}{y}$ et $z_2 = xy$.
  \end{texample}

  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
% taille hors paragraphe
On a
\begin{equation*}
  z_1 = \frac{x}{y}
\end{equation*}
et $z_2 = xy$.
\end{lstlisting}
    \producing On a
    \begin{equation*}
      z_1 = \frac{x}{y}
    \end{equation*}
    et $z_2 = xy$.
  \end{texample}

  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
% deux tailles combinĂ©es
Soit
\begin{equation*}
  z = \frac{\frac{x}{2}
    + 1}{y}.
\end{equation*}
\end{lstlisting}
    \producing Soit
    \begin{equation*}
      z = \frac{\frac{x}{2} + 1}{y}.
    \end{equation*}
  \end{texample}
\end{demo}

Les commandes
\begin{lstlisting}
\dfrac`\marg{numĂ©rateur}\marg{dĂ©nominateur}'
\tfrac`\marg{numĂ©rateur}\marg{dĂ©nominateur}'
\end{lstlisting}
de \pkg{amsmath} permettent de forcer une fraction Ă&nbsp; adopter la taille
d'une fraction hors paragraphe (\emph{displayed}) dans le cas de
\cmd{\dfrac}, ou de celle d'une fraction au fil du texte (\emph{text})
dans le cas de \cmd{\tfrac}. L'\autoref{ex:math:matrices} permet de
visualiser l'effet de la commande \cmd{\dfrac}.

\tipbox{Il est parfois visuellement plus intĂ©ressant, surtout au fil
  du texte, d'Ă©crire une fraction comme $1/x$ sous la forme $x^{-1}$.}

\subsection{Racines}
\label{sec:math:bases:racines}

La commande
\begin{lstlisting}
\sqrt`\oarg{n}\marg{radicande}'
\end{lstlisting}
construit un symbole de radical autour de \meta{radicande}, par dĂ©faut
la racine carrĂ©e. Si l'argument optionnel \meta{n} est spĂ©cifiĂ©, c'est
plutĂ´t un symbole de racine d'ordre $n$ qui est tracĂ©. La longueur et
la hauteur du radical s'adapte toujours Ă&nbsp; celles du radicande.
\begin{demo}
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.65\linewidth]
\begin{lstlisting}
\sqrt{2}
\end{lstlisting}
      \producing $\sqrt{2}$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \quad
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.67\linewidth]
\begin{lstlisting}
\sqrt{625}
\end{lstlisting}
      \producing
      $\sqrt{625}$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \quad
  \begin{minipage}{0.3\linewidth}
    \begin{texample}[0.67\linewidth]
\begin{lstlisting}
\sqrt[3]{8}
\end{lstlisting}
      \producing
      $\sqrt[3]{8}$
    \end{texample}
  \end{minipage}

  \begin{texample}[0.55\linewidth]
\begin{lstlisting}
\sqrt[n]{x + y + z}
\end{lstlisting}
    \producing
    $\sqrt[n]{x + y + z}$
  \end{texample}

  \begin{texample}[0.55\linewidth]
\begin{lstlisting}
\sqrt{\frac{x + y}{x^2 - y^2}}
\end{lstlisting}
    \producing
    $\displaystyle \sqrt{\frac{x + y}{x^2 - y^2}}$
  \end{texample}
\end{demo}

\subsection{Sommes et intĂ©grales}
\label{sec:math:bases:sommes-et-integrales}

Les sommes et les intĂ©grales requiĂ¨rent un symbole spĂ©cial ainsi que
des limites infĂ©rieures et supĂ©rieures, le cas Ă©chĂ©ant.

Les commandes \cmd{\sum} et \cmd{\int} servent respectivement Ă&nbsp; tracer
les symboles de somme $\sum$ et d'intĂ©grale $\int$. Le paquetage
\pkg{amsmath} fournit Ă©galement des commandes comme \cmd{\iint} et
\cmd{\iiint} pour obtenir des symboles d'intĂ©grales multiples finement
disposĂ©s ($\iint$ et $\iiint$).

Les Ă©ventuelles limites infĂ©rieures et supĂ©rieures sont saisies comme
des indices et des exposants.
\begin{demo}
  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
\sum_{i = 0}^n x_i
\end{lstlisting}
    \producing $\displaystyle \sum_{i = 0}^n x_i$
  \end{texample}

  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
\int_0^{10} f(x)\, dx
\end{lstlisting}
    \producing $\displaystyle \int_0^{10} f(x)\, dx$
  \end{texample}

  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
\iint_D f(x, y)\, dx dy
\end{lstlisting}
    \producing $\displaystyle \iint_D f(x, y)\, dx dy$
  \end{texample}
\end{demo}

La taille des symboles et la position des limites s'ajustent
automatiquement selon le contexte. Au fil du texte, la somme et
l'intĂ©grale simple ci-dessus apparaitraient comme $\sum_{i = 0}^n x_i$
et $\int_0^{10} f(x)\, dx$.

Dans une intĂ©grale il est recommandĂ© de sĂ©parer l'intĂ©grande de
l'opĂ©rateur de diffĂ©rentiation $dx$ par une espace fine. C'est ce Ă&nbsp;
quoi sert la commande \cmd{\,} ci-dessus; voir aussi le
\autoref{tab:math:espaces}.

\subsection{Points de suspension}
\label{sec:math:bases:dots}

Les formules mathĂ©matiques comportent frĂ©quemment des points de
suspension dans des suites de variables ou d'opĂ©rations. Les
spĂ©cialistes recommandent d'Ă©viter de les entrer comme trois points
finaux consĂ©cutifs, car l'espacement entre les points sera trop petit
et le rĂ©sultat, jugĂ© disgracieux d'un point de vue
typographique\footnote{%
  Le rĂ©sultat exact dĂ©pend de la police utilisĂ©e.}: %
Â«$...$Â».

Le \autoref{tab:math:dots} fournit les commandes {\LaTeX} servant Ă&nbsp;
gĂ©nĂ©rer divers types de points de suspension.

\begin{table}
  \caption{Points de suspension}
  \label{tab:math:dots}
  \centering
  \begin{tabular}{lll}
    \toprule
    commande &amp; type de points &amp; exemple \\
    \midrule
    \cmd{\dots} &amp;  sĂ©lection automatique \\
    \cmd{\ldots} &amp; points Ă&nbsp; la ligne de base &amp; $x_1, \ldots, x_n$ \\
    \cmd{\cdots} &amp; points centrĂ©s &amp; $x_1 + \cdots + x_n$ \\
    \addlinespace[0.5\normalbaselineskip]
    \cmd{\vdots} &amp; points verticaux &amp; $
                                      \begin{matrix}
                                        x_1 \\ \vdots \\ x_n
                                      \end{matrix}$ \\
    \addlinespace[0.5\normalbaselineskip]
    \cmd{\ddots} &amp; points diagonaux &amp; $
                                      \begin{matrix}
                                        x_1 &amp;&amp;\\ &amp;\ddots&amp; \\ &amp;&amp; x_n
                                      \end{matrix}$ \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}

Avec \pkg{amsmath}, la commande \cmd{\dots} tĂ˘che de sĂ©lectionner
automatiquement entre les points Ă&nbsp; la ligne de base ou les points
centrĂ©s selon le contexte. Comme le rĂ©sultat est en gĂ©nĂ©ral le bon, je
recommande d'utiliser principalement cette commande pour insĂ©rer des
points de suspension en mode mathĂ©matique.
\begin{demo}
  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$x_1, \dots, x_n$
\end{lstlisting}
    \producing $x_1, \dots, x_n$
  \end{texample}

  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$x_1, \ldots, x_n$
\end{lstlisting}
    \producing $x_1, \ldots, x_n$
  \end{texample}

  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$x_1 + \dots + x_n$
\end{lstlisting}
    \producing $x_1 + \dots + x_n$
  \end{texample}

  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$x_1 + \cdots + x_n$
\end{lstlisting}
    \producing $x_1 + \cdots + x_n$
  \end{texample}
\end{demo}
Le paquetage dĂ©finit Ă©galement les commandes sĂ©mantiques suivantes:
\begin{itemize}
\item \cmd{\dotsc} pour des Â«points avec des virgulesÂ» (\emph{commas});
\item \cmd{\dotsb} pour des Â«points avec des opĂ©rateurs binairesÂ»;
\item \cmd{\dotsm} pour des Â«points de multiplicationÂ»;
\item \cmd{\dotsi} pour des Â«points avec des intĂ©gralesÂ»;
\item \cmd{\dotso} pour d'Â«autres pointsÂ» (\emph{other}).
\end{itemize}

\subsection{Texte et espaces}
\label{sec:math:bases:texte}

Tel que mentionnĂ© prĂ©cĂ©demment, en mode mathĂ©matique {\LaTeX} traite
les lettres comme des variables et gĂ¨re automatiquement l'espacement
entre les divers symboles. Or, il n'est pas rare que des formules
mathĂ©matiques contiennent du texte (notamment des mots comme Â«oĂąÂ»,
Â«siÂ», Â«quandÂ»). De plus, il est parfois souhaitable de pouvoir ajuster
les blancs entre des Ă©lĂ©ments.

La commande de \pkg{amsmath}
\begin{lstlisting}
\text`\marg{texte}'
\end{lstlisting}
insĂ¨re \meta{texte} dans une formule mathĂ©matique. Le texte est insĂ©rĂ©
tel quel, sans aucune gestion des espaces avant ou aprĂ¨s le texte. Si
des espaces sont nĂ©cessaires, ils doivent faire partie de
\meta{texte}.
\begin{demo}
  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
f(x) = a e^{-ax}
\text{ pour } x &gt; 0
\end{lstlisting}
    \producing $f(x) = a e^{-ax} \text{ pour } x &gt; 0$
  \end{texample}
\end{demo}

Les commandes
\begin{lstlisting}
\quad
\qquad
\end{lstlisting}
insĂ¨rent un blanc de largeur variable selon la taille de la police en
vigueur. La commande \cmd{\quad} insĂ¨re un blanc de $1$~em (la largeur de
la lettre M dans la police en vigueur), alors que \cmd{\qquad}
insĂ¨re le double de cette longueur\footnote{%
  Bien qu'elles soient surtout utilisĂ©es dans le mode mathĂ©matique,
  les commandes \cmd{\quad} et \cmd{\qquad} sont Ă©galement valides
  dans le mode texte.}.
\begin{demo}
  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
f(x) = a e^{-ax},
\quad x &gt; 0
\end{lstlisting}
    \producing
    $f(x) = a e^{-ax}, \quad x &gt; 0$
  \end{texample}
\end{demo}

Le \autoref{tab:math:espaces} rĂ©pertorie et compare les diffĂ©rentes
commandes qui permettent d'insĂ©rer des espaces plus ou moins fines
entre des Ă©lĂ©ments dans le mode mathĂ©matique.

\begin{table}
  \caption{Espaces dans le mode mathĂ©matique}
  \label{tab:math:espaces}
  \centering
  \begin{tabular}{lll}
    \toprule
    Commande &amp; Longueur &amp; Exemple \\
    \midrule
             &amp; pas d'espace &amp; \spx{} \\
    \cmd{\,} &amp; $3/18$ de \cmdprint{quad} &amp; \spx{\,} \\
    \cmd{\:} &amp; $4/18$ de \cmdprint{quad} &amp; \spx{\:} \\
    \cmd{\;} &amp; $5/18$ de \cmdprint{quad} &amp; \spx{\;} \\
    \pixabang &amp; $-3/18$ de \cmdprint{quad} &amp; \spx{\!} \\
    \cmd{\quad} &amp; $1$~em &amp; \spx{\quad} \\
    \cmd{\qquad} &amp; $2$~em &amp; \spx{\qquad} \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}

\subsection{Fonctions et opĂ©rateurs}
\label{sec:math:bases:fonctions}

Les rĂ¨gles de typographie pour les Ă©quations mathĂ©matiques exigent que
les variables apparaissent en \textit{italique}, mais que les noms de
fonctions, eux, apparaissent en \textrm{romain}, comme le texte
standard. Pensons, ici, Ă&nbsp; des fonctions comme $\sin$ ou $\log$.

N'oubliez pas que {\LaTeX} interprĂ©tera un nom de fonction saisi tel
quel comme un produit de variables:
\begin{demo}
  \begin{minipage}{0.45\linewidth}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$2 sin 30$
\end{lstlisting}
      \producing
      $2 sin 30$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}{0.45\linewidth}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$3 log 2$
\end{lstlisting}
      \producing
      $3 log 2$
    \end{texample}
  \end{minipage}
\end{demo}
La commande \cmdprint{\text} permettrait d'afficher les noms de
fonction en romain, mais l'utiliser Ă&nbsp; rĂ©pĂ©tition se rĂ©vĂ©lerait
rapidement peu pratique. De plus, un nom de fonction n'est pas du
texte Ă&nbsp; proprement parler, mais plutĂ´t un opĂ©rateur mathĂ©matique.

La solution de {\LaTeX} consiste Ă&nbsp; dĂ©finir des commandes pour un grand
nombre de fonctions et d'opĂ©rateurs mathĂ©matiques standards:
\begin{lstlisting}
\arccos   \cosh   \det   \inf      \limsup   \Pr     \tan
\arcsin   \cot    \dim   \ker      \ln       \sec    \tanh
\arctan   \coth   \exp   \lg       \log      \sin
\arg      \csc    \gcd   \lim      \max      \sinh
\cos      \deg    \hom   \liminf   \min      \sup
\end{lstlisting}
L'espacement autour des fonctions et opĂ©rateurs est gĂ©rĂ© par {\LaTeX}.
\begin{demo}
  \begin{minipage}{0.45\linewidth}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$2 \sin30$
\end{lstlisting}
      \producing
      $2 \sin30$
    \end{texample}
  \end{minipage}
  \hfill
  \begin{minipage}{0.45\linewidth}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
$3 \log 2$
\end{lstlisting}
      \producing
      $3 \log 2$
    \end{texample}
  \end{minipage}
\end{demo}

Certaines des fonctions ci-dessus, notamment \cmd{\lim}, acceptent des
limites comme les symboles de somme et d'intĂ©grale.
\begin{demo}
  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
% au fil du texte
\lim_{x \to 0} x = 0
\end{lstlisting}
    \producing $\lim_{x \to 0} x = 0$
  \end{texample}

  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
% hors paragraphe
\lim_{x \to 0} x = 0
\end{lstlisting}
    \producing $\displaystyle \lim_{x \to 0} x = 0$
  \end{texample}
\end{demo}

La commande \cmd{\DeclareMathOperator} de \pkg{amsmath} permet de
dĂ©finir de nouveaux opĂ©rateurs mathĂ©matiques lorsque nĂ©cessaire;
consultez au besoin la section~5.1 de la %
\doc{amsmath}{https://texdoc.net/pkg/amsmath} %
du paquetage.

\begin{exemple}
  Le matĂ©riel passĂ© en revue jusqu'Ă&nbsp; maintenant permet dĂ©jĂ&nbsp;
  de composer des Ă©quations Ă©laborĂ©es --- sous rĂ©serve qu'elles
  tiennent sur une seule ligne comme dans le prĂ©sent exemple.

  DĂ©coupons piĂ¨ce par piĂ¨ce le code {\LaTeX} pour crĂ©er l'Ă©quation
  suivante:
  \begin{equation*}
    \int_x^\infty (y - x) f_{X|X &gt; x}(y)\, dy =
    \frac{1}{1 - F_X(x)} \int_x^\infty (y - x) f_X(y)\, dy.
  \end{equation*}
  \begin{demo}
    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
\begin{equation*}
\end{lstlisting}
      \producing
      \emph{Ă©quation hors paragraphe}
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
\int_x^\infty
\end{lstlisting}
      \producing
      $\displaystyle \int_x^\infty$
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
(y - x) f_{X|X &gt; x}(y)\, dy =
\end{lstlisting}
      \producing
      $(y - x) f_{X|X &gt; x}(y)\, dy =$
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
\frac{1}{1 - F_X(x)}
\end{lstlisting}
      \producing
      $\dfrac{1}{1 - F_X(x)}$
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
\int_x^\infty (y - x) f_X(y)\, dy
\end{lstlisting}
      \producing
      $\displaystyle \int_x^\infty (y - x) f_X(y)\, dy$
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
\end{equation*}
\end{lstlisting}
      \producing
      \emph{fin de l'environnement}
    \end{texample}
  \end{demo}
  \qed
\end{exemple}


\section{Symboles mathĂ©matiques}
\label{sec:math:symboles}

Outre les chiffres et les lettres de l'alphabet, les claviers
d'ordinateurs ne comptent normalement que les symboles
mathĂ©matiques suivants:
\begin{center}
%\begin{verbatim}
\verb0+  -  =  &lt;  &gt;  /  :  !  '  |  [  ]  (  ) { }0
%\end{verbatim}
\end{center}
Vous pouvez les employer directement dans les Ă©quations, sauf les
accolades \verb={ }= qui sont des symboles rĂ©servĂ©s par {\LaTeX}. Il
faut donc entrer celles-ci avec \cmdprint{\{} et \cmdprint{\}}, comme
dans du texte normal.

Pour reprĂ©senter les innombrables autres symboles mathĂ©matiques, il
faut avoir recours Ă&nbsp; des commandes qui dĂ©butent, comme d'habitude, par
le symbole Â«\bsÂ» et dont le nom est habituellement dĂ©rivĂ© de la
signification mathĂ©matique du symbole.

Si un symbole mathĂ©matique a Ă©tĂ© utilisĂ© quelque part dans une
publication, il y a de fortes chances que sa version existe dans
{\LaTeX}. Il serait donc utopique de tenter de faire ici une recension
des symboles disponibles. Je me contente d'un avant-gout des
principales catĂ©gories.

L'ouvrage de rĂ©fĂ©rence pour connaitre les symboles disponibles dans
{\LaTeX} est la bien nommĂ©e \emph{Comprehensive {\LaTeX} Symbol List}
\citep{comprehensive}. La liste comprend plus de \nombre{18000}
symboles! On y trouve de tout, des symboles mathĂ©matiques aux
pictogrammes de mĂ©tĂ©o ou d'Ă©checs, en passant par\dots\ des figurines
des Simpsons.

\tipbox{Les moteurs modernes {\XeTeX} et {\LuaTeX} supportent
  nativement le texte en format Unicode UTF-8. Ce standard contient
  des dĂ©finitions pour plusieurs symboles mathĂ©matiques
  \citep{wikipedia:unicode-math}. Cela signifie qu'il est possible
  d'entrer une partie au moins des Ă©quations mathĂ©matiques avec des
  caractĂ¨res visibles Ă&nbsp; l'Ă©cran, plutĂ´t qu'avec des commandes
  {\LaTeX}.}

\subsection{Lettres grecques}
\label{sec:math:symboles:grecques}

On obtient les lettres grecques en {\LaTeX} avec des commandes
correspondant au nom de chaque lettre. Lorsque la commande dĂ©bute par
une capitale, on obtient une lettre grecque majuscule. Les commandes
de certaines lettres grecques majuscules n'existent pas lorsque celles-ci
sont identiques aux lettres romaines.

Les tableaux \ref{tab:math:grecques} et \ref{tab:math:Grecques}
prĂ©sentent l'ensemble des lettres grecques disponibles dans {\LaTeX}.

\begin{table}
  \caption{Lettres grecques minuscules}
  \label{tab:math:grecques}
  \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX}
    $\alpha$      &amp; \cmd{\alpha}      &amp; $\theta$    &amp; \cmd{\theta} &amp;
    $o$           &amp; o                 &amp; $\tau$      &amp; \cmd{\tau} \\
    $\beta$       &amp; \cmd{\beta}       &amp; $\vartheta$ &amp; \cmd{\vartheta} &amp;
    $\pi$         &amp; \cmd{\pi}         &amp; $\upsilon$  &amp; \cmd{\upsilon} \\
    $\gamma$      &amp; \cmd{\gamma}      &amp; $\iota$     &amp; \cmd{\iota} &amp;
    $\varpi$      &amp; \cmd{\varpi}      &amp; $\phi$      &amp; \cmd{\phi} \\
    $\delta$      &amp; \cmd{\delta}      &amp; $\kappa$    &amp; \cmd{\kappa} &amp;
    $\rho$        &amp; \cmd{\rho}        &amp; $\varphi$   &amp; \cmd{\varphi} \\
    $\epsilon$    &amp; \cmd{\epsilon}    &amp; $\lambda$   &amp; \cmd{\lambda} &amp;
    $\varrho$     &amp; \cmd{\varrho}     &amp; $\chi$      &amp; \cmd{\chi} \\
    $\varepsilon$ &amp; \cmd{\varepsilon} &amp; $\mu$       &amp; \cmd{\mu} &amp;
    $\sigma$      &amp; \cmd{\sigma}      &amp; $\psi$      &amp; \cmd{\psi} \\
    $\zeta$       &amp; \cmd{\zeta}       &amp; $\nu$       &amp; \cmd{\nu} &amp;
    $\varsigma$   &amp; \cmd{\varsigma}   &amp; $\omega$    &amp; \cmd{\omega} \\
    $\eta$        &amp; \cmd{\eta}        &amp; $\xi$       &amp; \cmd{\xi}
  \end{tabularx}
\end{table}

\begin{table}
  \caption{Lettres grecques majuscules}
  \label{tab:math:Grecques}
  \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX}
    $\Gamma$    &amp; \cmd{\Gamma}   &amp;
    $\Lambda$   &amp; \cmd{\Lambda}  &amp;
    $\Sigma$    &amp; \cmd{\Sigma}   &amp;
    $\Psi$      &amp; \cmd{\Psi}     \\
    $\Delta$    &amp; \cmd{\Delta}   &amp;
    $\Xi$       &amp; \cmd{\Xi}      &amp;
    $\Upsilon$  &amp; \cmd{\Upsilon} &amp;
    $\Omega$    &amp; \cmd{\Omega}   \\
    $\Theta$    &amp; \cmd{\Theta}   &amp;
    $\Pi$       &amp; \cmd{\Pi}      &amp;
    $\Phi$      &amp; \cmd{\Phi}
  \end{tabularx}
\end{table}

\subsection{Lettres modifiĂ©es}
\label{sec:math:symboles:mathcal}

Les lettres de l'alphabet, principalement en majuscule, servent
parfois en mathĂ©matiques dans des versions modifiĂ©es pour reprĂ©senter
des quantitĂ©s, notamment les ensembles.

La commande \cmd{\mathcal} permet de transformer un ou plusieurs
caractĂ¨res en version dite Â«calligraphiqueÂ» dans le mode mathĂ©matique.
\begin{demo}
  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
\mathcal{ABC\, xyz}
\end{lstlisting}
    \producing
    %% pris de lucidaot.tex; apparemment lent
    \setmathfont[RawFeature=+ss04]{Lucida Bright Math OT}
    $\mathscr{ABC\, xyz}$
  \end{texample}
\end{demo}

La commande \cmd{\mathbb} fournie par les paquetages \pkg{amsfonts} et
\pkg{unicode-math}, entre autres, gĂ©nĂ¨re des versions majuscule
ajourĂ©e (\emph{blackboard bold}) des lettres de l'alphabet. Elles sont
principalement utilisĂ©e pour reprĂ©senter les ensembles de nombres.
\begin{demo}
  \begin{texample}
\begin{lstlisting}
\mathbb{NZRC}
\end{lstlisting}
    \producing $\mathbb{NZRC}$
  \end{texample}
\end{demo}

\tipbox{Certaines polices OpenType contiennent plusieurs versions des
  symboles mathĂ©matiques. Par exemple, la police utilisĂ©e dans le
  prĂ©sent document contient deux versions de la police calligraphique,
  celle prĂ©sentĂ©e ci-dessus et celle-ci: %
  \setmathfont[RawFeature=-ss04]{Lucida Bright Math OT}
  $\mathscr{ABC\, xyz}$. Consultez la documentation de la police pour
  connaitre les options disponibles.}

\subsection{OpĂ©rateurs binaires et relations}
\label{sec:math:symboles:binaires+relations}

Les opĂ©rateurs binaires combinent deux quantitĂ©s pour en former une
troisiĂ¨me; pensons simplement aux opĂ©rateurs d'addition $+$ et de
soustraction $-$ que l'on retrouve sur un clavier d'ordinateur normal.
Les relations, quant Ă&nbsp; elles, servent pour la comparaison entre deux
quantitĂ©s, comme $&lt;$ et $&gt;$. Le \autoref{tab:math:binaires}
prĂ©sente une sĂ©lection d'opĂ©rateurs binaires et
le \autoref{tab:math:relations}  une sĂ©lection de relations.

La %
\doc[\emph{Comprehensive {\LaTeX} Symbol List}]{}{https://texdoc.net/pkg/comprehensive} %
consacre plus d'une dizaine de tableaux aux opĂ©rateurs binaires et
prĂ¨s d'une quarantaine aux relations. C'est dire Ă&nbsp; quel point les
tableaux \ref*{tab:math:binaires} et \ref*{tab:math:relations} de la
\autopageref{tab:math:binaires} ne prĂ©sentent que les principaux
Ă©lĂ©ments Ă&nbsp; titre indicatif.

Certaines relations existent directement en version opposĂ©e, ou
nĂ©gative (comme $\neq$ ou $\notin$) soit dans {\LaTeX} de base, soit
avec \pkg{amsmath} ou un autre paquetage. Autrement, il est possible
de prĂ©fixer toute relation de \cmd{\not} pour y superposer une barre
oblique Â«$/$Â».

\begin{table}
  \caption{Quelques opĂ©rateurs binaires}
  \label{tab:math:binaires}
  \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX}
    $\times$    &amp; \cmd{\times} &amp;
    $\div$      &amp; \cmd{\div}   &amp;
    $\pm$       &amp; \cmd{\pm}    &amp;
    $\cdot$     &amp; \cmd{\cdot}    \\
    $\cup$      &amp; \cmd{\cup} &amp;
    $\cap$      &amp; \cmd{\cap} &amp;
    $\setminus$ &amp; \cmd{\setminus} &amp;
    $\circ$     &amp; \cmd{\circ}  \\
    $\wedge$    &amp; \cmd{\wedge} &amp;
    $\vee$      &amp; \cmd{\vee} &amp;
    $\oplus$    &amp; \cmd{\oplus} &amp;
    $\otimes$   &amp; \cmd{\otimes} \\
    $\ast$      &amp; \cmd{\ast} &amp;
    $\star$     &amp; \cmd{\star} &amp;
    $\boxplus$  &amp; \cmd{\boxplus}$^\dagger$ &amp;
    $\boxtimes$ &amp; \cmd{\boxtimes}$^\dagger$ \\
    \addlinespace
  \end{tabularx}
  \hspace*{1em}{\footnotesize $^\dagger$ requiert \pkg{amsmath}}
\end{table}

\begin{table}
  \caption{Quelques relations et leur nĂ©gation}
  \label{tab:math:relations}
  \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX}
    $\leq$      &amp; \cmd{\leq} &amp;
    $\geq$      &amp; \cmd{\geq}   &amp;
    $\neq$      &amp; \cmd{\neq}    &amp;
    $\equiv$    &amp; \cmd{\equiv}    \\
    $\subset$   &amp; \cmd{\subset} &amp;
    $\subseteq$ &amp; \cmd{\subseteq}  &amp;
    $\in$       &amp; \cmd{\in} &amp;
    $\notin$    &amp; \cmd{\notin} \\
    $\nless$    &amp; \cmd{\nless}$^\dagger$ &amp;
    $\ngtr$     &amp; \cmd{\ngtr}$^\dagger$   &amp;
    $\nleq$     &amp; \cmd{\nleq}$^\dagger$    &amp;
    $\ngeq$     &amp; \cmd{\ngeq}$^\dagger$ \\
    \addlinespace
  \end{tabularx}
  \hspace*{1em}{\footnotesize $^\dagger$ requiert \pkg{amsmath}}
\end{table}

\subsection{FlĂ¨ches}
\label{sec:math:symboles:fleches}

Les flĂ¨ches de diffĂ©rents types sont souvent utilisĂ©es en notation
mathĂ©matique, notamment dans les limites ou pour les expressions
logiques. Le \autoref{tab:math:fleches} en prĂ©sente une sĂ©lection.

On retrouve les flĂ¨ches utilisables en notation mathĂ©matique dans la %
\doc[\emph{Comprehensive {\LaTeX} Symbol List}]{}{https://texdoc.net/pkg/comprehensive}. %
Le document contient divers autres types de flĂ¨ches, mais celles-ci ne
sont gĂ©nĂ©ralement pas appropriĂ©es pour les mathĂ©matiques (pensons Ă&nbsp;
{\manerrarrow} ou {\faArrowRight}).

Le paquetage \pkg{amsmath} fournit plusieurs flĂ¨ches additionnelles
ainsi que la nĂ©gation des plus communes. Ces derniĂ¨res apparaissent
d'ailleurs dans le \autoref{tab:math:fleches}.

\begin{table}
  \caption{Quelques flĂ¨ches et leur nĂ©gation}
  \label{tab:math:fleches}
  \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlX}
    $\gets$                &amp; \cmd{\leftarrow}\quad \cmd{\gets} &amp;
    $\longleftarrow$       &amp; \cmd{\longleftarrow}              \\
    $\Leftarrow$           &amp; \cmd{\Leftarrow}                  &amp;
    $\Longleftarrow$       &amp; \cmd{\Longleftarrow}              \\
    $\to$                  &amp; \cmd{\rightarrow}\quad \cmd{\to}  &amp;
    $\longrightarrow$      &amp; \cmd{\longrightarrow}             \\
    $\Rightarrow$          &amp; \cmd{\Rightarrow}                 &amp;
    $\Longrightarrow$      &amp; \cmd{\Longrightarrow}             \\
    $\uparrow$             &amp; \cmd{\uparrow}                    &amp;
    $\downarrow$           &amp; \cmd{\downarrow}                  \\
    $\Uparrow$             &amp; \cmd{\Uparrow}                    &amp;
    $\Downarrow$           &amp; \cmd{\Downarrow}                  \\
    $\updownarrow$         &amp; \cmd{\updownarrow}                &amp;
    $\Updownarrow$         &amp; \cmd{\Updownarrow}                \\
    $\leftrightarrow$      &amp; \cmd{\leftrightarrow}             &amp;
    $\longleftrightarrow$  &amp; \cmd{\longleftrightarrow}         \\
    $\Leftrightarrow$      &amp; \cmd{\Leftrightarrow}             &amp;
    $\Longleftrightarrow$  &amp; \cmd{\Longleftrightarrow}         \\
    $\nleftarrow$          &amp; \cmd{\nleftarrow}$^\dagger$         &amp;
    $\nleftrightarrow$     &amp; \cmd{\nleftrightarrow}$^\dagger$    \\
    $\nrightarrow$         &amp; \cmd{\nrightarrow}$^\dagger$        &amp;
    $\nLeftarrow$          &amp; \cmd{\nLeftarrow}$^\dagger$         \\
    $\nLeftrightarrow$     &amp; \cmd{\nLeftrightarrow}$^\dagger$    &amp;
    $\nRightarrow$         &amp; \cmd{\nRightarrow}$^\dagger$        \\
    \addlinespace
  \end{tabularx}
  \hspace*{1em}{\footnotesize $^\dagger$ requiert \pkg{amsmath}}
\end{table}

\subsection{Accents et autres symboles utiles}
\label{sec:math:symboles:autres}

Le \autoref{tab:math:autres} prĂ©sente quelques uns des accents
disponibles dans le mode mathĂ©matique, ainsi que divers symboles
frĂ©quemment utilisĂ©s en mathĂ©matiques. Pour connaitre l'ensemble des
accents du mode mathĂ©matique de {\LaTeX}, les versions extensibles de
certains et divers autres symboles mathĂ©matiques, consultez la
section~3 de la %
\doc[\emph{Comprehensive {\LaTeX} Symbol List}]{}{https://texdoc.net/pkg/comprehensive}. %

\begin{table}
  \caption{Accents et symboles mathĂ©matiques divers}
  \label{tab:math:autres}
  \begin{tabularx}{1.0\linewidth}{lXlXlXlX}
    $\hat{a}$ &amp; \cmd{\hat}\verb={a}= &amp;
    $\bar{a}$ &amp; \cmd{\bar}\verb={a}= &amp;
    $\tilde{a}$ &amp; \cmd{\tilde}\verb={a}= &amp;
    $\ddot{a}$ &amp; \cmd{\ddot}\verb={a}= \\
    $\infty$ &amp; \cmd{\infty} &amp;
    $\nabla$ &amp; \cmd{\nabla} &amp;
    $\partial$ &amp; \cmd{\partial} &amp;
    $\ell$ &amp; \cmd{\ell} \\
    $\forall$ &amp; \cmd{\forall} &amp;
    $\exists$ &amp; \cmd{\exists} &amp;
    $\emptyset$ &amp; \cmd{\emptyset} &amp;
    $\prime$ &amp; \cmd{\prime} \\
    $\neg$ &amp; \cmd{\neg} &amp;
    $\backslash$ &amp; \cmd{\backslash} &amp;
    $\|$ &amp; \pixbar &amp;
    $\angle$ &amp; \cmd{\angle}
  \end{tabularx}
\end{table}


\begin{exemple}
  L'Ă©quation suivante contient plusieurs des Ă©lĂ©ments prĂ©sentĂ©s dans
  cette section et la prĂ©cĂ©dente:
  \begin{equation*}
    \frac{\Gamma(\alpha)}{\lambda^\alpha} =
    \sum_{j = 0}^\infty \int_j^{j + 1} x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x}\,
    dx,
    \quad
    \alpha &gt; 0 \text{ et } \lambda &gt; 0.
  \end{equation*}
  \begin{demo}
    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
\begin{equation*}
\end{lstlisting}
      \producing
      \emph{Ă©quation hors paragraphe}
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
\frac{\Gamma(\alpha)}{
  \lambda^\alpha} =
\end{lstlisting}
      \producing
      $\dfrac{\Gamma(\alpha)}{\lambda^\alpha} =$
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
\sum_{j = 0}^\infty \int_j^{j + 1}
\end{lstlisting}
      \producing
      $\displaystyle \sum_{j = 0}^\infty \int_j^{j + 1}$
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x}\, dx
\end{lstlisting}
      \producing
      $\displaystyle x^{\alpha - 1} e^{-\lambda x}\, dx$
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
, \quad \alpha &gt; 0 \text{ et }
\lambda &gt; 0.
\end{lstlisting}
      \producing
      $, \quad \alpha &gt; 0 \text{ et } \lambda &gt; 0.$
    \end{texample}

    \begin{texample}[0.58\linewidth]
\begin{lstlisting}
\end{equation*}
\end{lstlisting}
      \producing
      \emph{fin de l'environnement}
    \end{texample}
  \end{demo}
  \qed
\end{exemple}


\section{Ă‰quations sur plusieurs lignes et numĂ©rotation}
\label{sec:math:align}

Dans ce qui prĂ©cĂ¨de, je n'ai prĂ©sentĂ© que des Ă©quations tenant sur une
seule ligne en mode hors paragraphe. Cette section se penche sur la
maniĂ¨re de reprĂ©senter des groupes d'Ă©quations du type
\begin{align}
  y &amp;= 2x + 4 \\
  y &amp;= 6x - 1
\end{align}
ou des suites d'Ă©quations comme
\begin{align*}
  x_{\text{max}}
  &amp;= \sum_{i = 0}^{m - 1} (b - 1) b^i \\
  &amp;= (b - 1) \sum_{i = 0}^{m - 1} b^i \\
  &amp;= b^m - 1.
\end{align*}

Je recommande fortement les environnements de \pkg{amsmath} pour les
Ă©quations sur plusieurs lignes: ils sont plus polyvalents, plus
simples Ă&nbsp; utiliser et leur rendu est meilleur. Le
\autoref{tab:math:displays} --- repris presque intĂ©gralement de la
documentation de ce paquetage --- compare les diffĂ©rents
environnements pour les Ă©quations hors paragraphe.

\begin{table}[p]
  \caption[Comparaison des environnements pour les Ă©quations hors
  paragraphe de \pkg{amsmath}]{%
    Comparaison des environnements pour les Ă©quations hors
    paragraphe de \pkg{amsmath} (les lignes verticales indiquent les
    marges logiques).}
  \label{tab:math:displays}
  \renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}}
  \begin{eqxample}
\begin{lstlisting}
\begin{equation*}
  a = b
\end{equation*}
\end{lstlisting}
    \producing
    \begin{equation*}
      a = b
    \end{equation*}
  \end{eqxample}

  \begin{eqxample}
\begin{lstlisting}
\begin{equation}
  a = b
\end{equation}
\end{lstlisting}
    \producing
    \begin{equation}
      a = b
    \end{equation}
  \end{eqxample}

  \begin{eqxample}
\begin{lstlisting}
\begin{equation}
  \label{eq:5}
  \begin{split}
    a &amp;= b + c - d \\
    &amp;\phantom{=} + e - f \\
    &amp;= g + h \\
    &amp;= i
  \end{split}
\end{equation}
\end{lstlisting}
    \producing
    \begin{equation}\label{eq:math:5}
      \begin{split}
        a&amp; =b+c-d\\
        &amp;\phantom{=} +e-f\\
        &amp; =g+h\\
        &amp; =i
      \end{split}
    \end{equation}
  \end{eqxample}

  \begin{eqxample}
\begin{lstlisting}
\begin{multline}
  a + b + c + d + e + f \\
  + i + j + k + l + m + n
\end{multline}
\end{lstlisting}
    \producing
    \begin{multline}
      a+b+c+d+e+f\\
      +i+j+k+l+m+n
    \end{multline}
  \end{eqxample}

  \begin{eqxample}
\begin{lstlisting}
\begin{gather}
  a_1 = b_1 + c_1 \\
  a_2 = b_2 + c_2 - d_2 + e_2
\end{gather}
\end{lstlisting}
    \producing
    \begin{gather}
      a_1=b_1+c_1\\
      a_2=b_2+c_2-d_2+e_2
    \end{gather}
  \end{eqxample}

  \begin{eqxample}
\begin{lstlisting}
\begin{align}
  a_1 &amp;= b_1+c_1 \\
  a_2 &amp;= b_2+c_2-d_2+e_2
\end{align}
\end{lstlisting}
    \producing
    \begin{align}
      a_1&amp; =b_1+c_1\\
      a_2&amp; =b_2+c_2-d_2+e_2
    \end{align}
  \end{eqxample}

  \begin{eqxample}
\begin{lstlisting}
\begin{align}
  a_{11} &amp;= b_{11} &amp;
  a_{12} &amp;= b_{12} \\
  a_{21} &amp;= b_{21} &amp;
  a_{22} &amp;= b_{22} + c_{22}
\end{align}
\end{lstlisting}
    \producing
    \begin{align}
      a_{11}&amp; =b_{11}&amp;
      a_{12}&amp; =b_{12}\\
      a_{21}&amp; =b_{21}&amp;
      a_{22}&amp; =b_{22}+c_{22}
    \end{align}
  \end{eqxample}
\end{table}

\begin{itemize}
\item L'environnement de base pour les Ă©quations alignĂ©es sur un
  symbole de relation (en une ou plusieurs colonnes) est \Ie{align}.
  C'est l'environnement le plus utilisĂ© en mode mathĂ©matique hormis
  \Pe{equation}.
\item Les environnements \Pe{multline}, \Pe{gather} et \Pe{align}
  existent Ă©galement en version Ă©toilĂ©e (\Ie{multline*}, \Ie{gather*},
  \Ie{align*}) qui ne numĂ©rotent pas les Ă©quations.
\item Dans les environnements \Pe{align} et \Ie{split}, les Ă©quations
  successives sont alignĂ©es sur le caractĂ¨re se trouvant immĂ©diatement
  aprĂ¨s le marqueur de colonne Â«\verb=&amp;=Â».
\item Comme dans les tableaux, la commande {\pixbsbs} sert Ă&nbsp;
  dĂ©limiter les lignes de la suite d'Ă©quations.
\item Dans le troisiĂ¨me exemple du \autoref{tab:math:displays}, la
  commande \cmd{\phantom} sert Ă&nbsp; insĂ©rer un blanc exactement de la
  largeur du symbole Â«$=$Â» au dĂ©but de la seconde ligne de la suite
  d'Ă©galitĂ©s.
\item Pour supprimer la numĂ©rotation d'une ligne dans une sĂ©rie
  d'Ă©quations numĂ©rotĂ©es, placer la commande \cmd{\notag} juste avant
  la commande de changement de ligne {\pixbsbs}.
  \begin{demo}
    \begin{texample}[0.53\linewidth]
\begin{lstlisting}
\begin{align}
  a_1 &amp;= b_1 + c_1 \notag \\
  a_2 &amp;= b_2 + c_2 - d_2 + e_2
\end{align}
\end{lstlisting}
      \producing
      \begin{align}
        a_1&amp; =b_1+c_1 \notag \\
        a_2&amp; =b_2+c_2-d_2+e_2
      \end{align}
    \end{texample}
  \end{demo}
\item Les renvois vers des Ă©quations numĂ©rotĂ©es fonctionnent, comme
  partout ailleurs en {\LaTeX}, avec le systĂ¨me d'Ă©tiquettes et de
  rĂ©fĂ©rences (\autoref{sec:tableaux:floats}). Le paquetage
  \pkg{amsmath} fournit Ă©galement la trĂ¨s utile commande \cmd{\eqref}
  qui place automatiquement le numĂ©ro d'Ă©quation entre parenthĂ¨ses.
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
L'Ă©quation \eqref{eq:5} du
tableau `\ref*{tab:math:displays}' dĂ©montre que...
\end{lstlisting}
      \producing
      L'Ă©quation \eqref{eq:math:5} du tableau
      \ref*{tab:math:displays} dĂ©montre que\dots
    \end{texample}
  \end{demo}
\item L'environnement \Ie{split} sert Ă&nbsp; apposer un seul numĂ©ro Ă&nbsp; une
  Ă©quation affichĂ©e sur plusieurs lignes. Il doit ĂŞtre employĂ© Ă&nbsp;
  l'intĂ©rieur d'un autre environnement d'Ă©quations hors paragraphe.
\end{itemize}
Consultez le chapitre 3 de la %
\doc{amsmath}{https://texdoc.net/pkg/amsmath} %
du paquetage \pkg{amsmath} pour les dĂ©tails sur
l'utilisation des environnements du \autoref*{tab:math:displays}.

\begin{exemple}
  J'ai rĂ©alisĂ© les deux suites d'Ă©quations au dĂ©but de la section avec
  les extraits de code ci-dessous, dans l'ordre.
\begin{lstlisting}
\begin{align}
  y &amp;= 2x + 4 \\
  y &amp;= 6x - 1
\end{align}
\end{lstlisting}
\begin{lstlisting}
\begin{align*}
  x_{\text{max}}
  &amp;= \sum_{i = 0}^{m - 1} (b - 1) b^i \\
  &amp;= (b - 1) \sum_{i = 0}^{m - 1} b^i \\
  &amp;= b^m - 1.
\end{align*}
\end{lstlisting}
  \qed
\end{exemple}

Veillez Ă&nbsp; respecter les rĂ¨gles suivantes pour la composition
des Ă©quations.
\begin{enumerate}
\item Qu'elles apparaissent en ligne ou hors paragraphe, les Ă©quations
  font partie intĂ©grante de la phrase. Ainsi, les rĂ¨gles de
  ponctuation usuelles s'appliquent aux Ă©quations.
\item Lorsqu'une Ă©quation s'Ă©tend sur plus d'une ligne, coupez chaque
  ligne \emph{avant} un opĂ©rateur de sorte que chaque ligne constitue
  une expression mathĂ©matique complĂ¨te (voir les troisiĂ¨me et
  quatriĂ¨me exemples du \autoref{tab:math:displays}).
\item Ne numĂ©rotez que les Ă©quations d'un document auxquelles le texte
  fait rĂ©fĂ©rence.
\end{enumerate}


\section{DĂ©limiteurs de taille variable}
\label{sec:math:delimiteurs}

Les dĂ©limiteurs en mathĂ©matiques sont des symboles gĂ©nĂ©ralement
utilisĂ©s en paire tels que les parenthĂ¨ses $(~)$, les crochets $[~]$
ou les accolades $\{~\}$ et qui servent Ă&nbsp; regrouper des termes d'une
Ă©quation. La taille des dĂ©limiteurs doit s'adapter au contenu entre
ceux-ci afin d'obtenir, par exemple,
\begin{equation*}
  \left( 1 + \frac{1}{x} \right)
\end{equation*}
plutĂ´t que la peu esthĂ©tique composition
\begin{equation*}
  (1 + \frac{1}{x}).
\end{equation*}

La paire de commandes
\begin{lstlisting}
\left`\meta{delim\_g}'  ...  \right`\meta{delim\_d}'
\end{lstlisting}
dĂ©finit un dĂ©limiteur gauche \meta{delim\_g} et un dĂ©limiteur droit
\meta{delim\_d} dont la taille s'ajustera automatiquement au contenu
entre les deux commandes.
\begin{demo}
  \begin{texample}[0.55\linewidth]
\begin{lstlisting}
\left( 1 + \frac{1}{x} \right)
\end{lstlisting}
    \producing
    \begin{equation*}
      \left( 1 + \frac{1}{x} \right)
    \end{equation*}
  \end{texample}

  \begin{texample}[0.55\linewidth]
\begin{lstlisting}
\left(
  \sum_{i = 1}^n x_i^2
\right)^{1/2}
\end{lstlisting}
    \producing
    \begin{equation*}
      \left(
        \sum_{i = 1}^n x_i^2
      \right)^{1/2}
    \end{equation*}
  \end{texample}
\end{demo}
Les commandes \cmd{\left} et \cmd{\right} doivent toujours former une
paire, c'est-Ă&nbsp;-dire qu'Ă&nbsp; \emph{toute} commande \cmdprint{\left} doit
absolument correspondre une commande \cmdprint{\right}. Cette
contrainte est facile Ă&nbsp; oublier!

\begin{itemize}
\item Il est possible d'imbriquer des paires de commandes les unes Ă&nbsp;
  l'intĂ©rieur des autres, pour autant que l'expression compte toujours
  autant de \cmdprint{\left} que de \cmdprint{\right}.
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
\left[
  \int
  \left(
    1 + \frac{x}{k}
  \right) dx
\right]
\end{lstlisting}
      \producing
      \begin{equation*}
        \left[
          \int
          \left(
            1 + \frac{x}{k}
          \right) dx
        \right]
      \end{equation*}
    \end{texample}
  \end{demo}
%
\item Les symboles \meta{delim\_g} et \meta{delim\_d} n'ont pas Ă&nbsp;
  former une paire logique; toute combinaison de dĂ©limiteurs est
  valide.
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
\int_0^1 x\, dx =
\left[
  \frac{x^2}{2}
\right|_0^1
\end{lstlisting}
      \producing
      \begin{equation*}
        \int_0^1 x\, dx =
        \left[
          \frac{x^2}{2}
        \right|_0^1
      \end{equation*}
    \end{texample}
  \end{demo}
%
\item Il arrive qu'un seul dĂ©limiteur soit nĂ©cessaire. Pour respecter
  la rĂ¨gle de la paire ci-dessus, on aura recours dans ce cas Ă&nbsp; un
  dĂ©limiteur \emph{invisible} reprĂ©sentĂ© par le caractĂ¨re Â«\verb=.=Â».
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
f(x) =
\left\{
  \begin{aligned}
    1 - x, &amp;\quad x &lt; 1 \\
    x - 1, &amp;\quad x \geq 1
  \end{aligned}
\right.
\end{lstlisting}
      \producing
      \begin{equation*}
        f(x) =
        \left\{
          \begin{aligned}
            1 - x, &amp;\quad x &lt; 1 \\
            x - 1, &amp;\quad x \geq 1
          \end{aligned}
        \right.
      \end{equation*}
    \end{texample}
  \end{demo}
  (L'environnement \Ie{aligned} utilisĂ© ci-dessus provient de
  \pkg{amsmath}.) L'environnement \Ie{cases} de \pkg{amsmath} rend
  plus simple la rĂ©alisation de constructions comme celle ci-dessus.
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
f(x) =
\begin{cases}
  1 - x, &amp; x &lt; 1 \\
  x - 1, &amp; x \geq 1
\end{cases}
\end{lstlisting}
      \producing
      \begin{equation*}
        f(x) =
        \begin{cases}
          1 - x, &amp; x &lt; 1 \\
          x - 1, &amp; x \geq 1
        \end{cases}
      \end{equation*}
    \end{texample}
  \end{demo}
%
\item La rĂ¨gle de la paire est tout spĂ©cialement dĂ©licate dans les
  Ă©quations sur plusieurs lignes car elle s'applique Ă&nbsp; \emph{chaque
    ligne} d'une Ă©quation. Par consĂ©quent, si la paire de dĂ©limiteurs
  s'ouvre sur une ligne et se referme sur une autre, il faudra ajouter
  un dĂ©limiteur invisible Ă&nbsp; la fin de la premiĂ¨re ligne ainsi qu'au
  dĂ©but de la seconde.
  \begin{demo}
    \begin{texample}
\begin{lstlisting}
\begin{align*}
  a
  &amp;= \left(
    b + \frac{c}{d}
    \right. \\
  &amp;\phantom{=} \left.
    + \frac{e}{d} - f
    \right)
\end{align*}
\end{lstlisting}
      \producing
      \begin{align*}
        a
        &amp;= \left(
          b + \frac{c}{d}
          \right. \\
        &amp;\phantom{=} \left.
          + \frac{e}{d} - f
          \right)
      \end{align*}
    \end{texample}
  \end{demo}
%
\item Il est Ă©galement possible de choisir la taille des dĂ©limiteurs
  avec les commandes %
  \cmd{\big}, %
  \cmd{\Big}, %
  \cmd{\bigg} et %
  \cmd{\Bigg}. %
  Ces commandes s'utilisent comme \cmdprint{\left} et
    \cmdprint{\right} en les faisant immĂ©diatement suivre d'un
  dĂ©limiteur. Le \autoref{tab:math:big_et_al} fournit des exemples de
  dĂ©limiteurs pour chaque taille.

  \begin{table}
    \centering
    \caption{Tailles des dĂ©limiteurs mathĂ©matiques}
    \label{tab:math:big_et_al}
    \begin{tabular}{ll}
      \toprule
      taille standard &amp; $(~) \quad [~] \quad \{~\}$ \\
      \addlinespace[0.5\normalbaselineskip]
      \cmd{\big} &amp; $\big(~\big) \quad \big[~\big] \quad \big\{~\big\}$ \\
      \addlinespace[0.5\normalbaselineskip]
      \cmd{\Big} &amp; $\Big(~\Big) \quad \Big[~\Big] \quad \Big\{~\Big\}$ \\
      \addlinespace[0.5\normalbaselineskip]
      \cmd{\bigg} &amp; $\bigg(~\bigg) \quad \bigg[~\bigg] \quad \bigg\{~\bigg\}$ \\
      \addlinespace[0.5\normalbaselineskip]
      \cmd{\Bigg} &amp; $\Bigg(~\Bigg) \quad \Bigg[~\Bigg] \quad \Bigg\{~\Bigg\}$ \\
      \addlinespace[4pt]\bottomrule
    \end{tabular}
  \end{table}
\end{itemize}

\begin{exemple}
  Le dĂ©veloppement de la formule d'approximation de Simpson comporte
  plusieurs des Ă©lĂ©ments discutĂ©s jusqu'Ă&nbsp; maintenant:
  \begin{align*}
    \int_a^b f(x)\, dx
    &amp;\approx \sum_{j = 0}^{n - 1}
      \int_{x_{2j}}^{x_{2(j + 1)}} f(x)\, dx \\
    &amp;= \frac{h}{3} \sum_{j = 0}^{n - 1}
      \left[
      f(x_{2j}) + 4 f(x_{2j + 1}) + f(x_{2(j + 1)})
      \right]
    \displaybreak[0] \\
    &amp;= \frac{h}{3}
      \left[
      f(x_0) +
      \sum_{j = 1}^{n - 1} f(x_{2j}) +
      4 \sum_{j = 0}^{n - 1} f(x_{2j + 1})
      \right. \displaybreak[0] \\
    &amp;\phantom{=}  + \left.
      \sum_{j = 0}^{n - 2} f(x_{2(j + 1)}) +
      f(x_{2n})
      \right] \\
    &amp;= \frac{h}{3}
      \left[
      f(a) +
      2 \sum_{j = 1}^{n - 1} f(x_{2j}) +
      4 \sum_{j = 0}^{n - 1} f(x_{2j + 1}) +
      f(b)
      \right].
  \end{align*}
  J'ai composĂ© ce bloc d'Ă©quations avec le code source ci-dessous.
\begin{lstlisting}
\begin{align*}
  \int_a^b f(x)\, dx
  &amp;\approx \sum_{j = 0}^{n - 1}
    \int_{x_{2j}}^{x_{2(j + 1)}} f(x)\, dx \\
  &amp;= \frac{h}{3} \sum_{j = 0}^{n - 1}
    \left[
    f(x_{2j}) + 4 f(x_{2j + 1}) + f(x_{2(j + 1)})
    \right] \\
  &amp;= \frac{h}{3}
    \left[
    f(x_0) +
    \sum_{j = 1}^{n - 1} f(x_{2j}) +
    4 \sum_{j = 0}^{n - 1} f(x_{2j + 1})
    \right. \\
  &amp;\phantom{=} + \left.
    \sum_{j = 0}^{n - 2} f(x_{2(j + 1)}) +
    f(x_{2n})
    \right] \\
  &amp;= \frac{h}{3}
    \left[
    f(a) +
    2 \sum_{j = 1}^{n - 1} f(x_{2j}) +
    4 \sum_{j = 0}^{n - 1} f(x_{2j + 1}) +
    f(b)
    \right].
\end{align*}
\end{lstlisting}
  \qed
\end{exemple}

\tipbox{La section~14 de la documentation de \pkg{amsmath} traite de
  divers enjeux typographiques en lien avec les dĂ©limiteurs, en plus
  d'y introduire des nouvelles commandes pour contrĂ´ler leur taille.}

De maniĂ¨re gĂ©nĂ©rale, il est dĂ©conseillĂ© de scinder une suite
d'Ă©quations entre deux pages. Le chargement du paquetage \pkg{amsmath}
dĂ©sactive d'ailleurs cette possibilitĂ©. Cependant, c'est parfois
inĂ©vitable pour les longs blocs d'Ă©quations.

La commande \cmd{\displaybreak}, placĂ©e immĂ©diatement avant Â«\pixbsbsÂ»
dans un environnement comme \Ie{align} permet d'indiquer Ă&nbsp; {\LaTeX} la
possibilitĂ© d'insĂ©rer un saut de page aprĂ¨s la ligne courante dans le
bloc d'Ă©quations. La commande accepte en argument optionnel un entier
entre $0$ et $4$ indiquant Ă&nbsp; quel point un saut de page est dĂ©sirĂ©:
\cmdprint{\displaybreak[0]} signifie Â«il est permis de changer de page
iciÂ» sans que ce ne soit obligatoire; \cmdprint{\displaybreak[4]} ou,
de maniĂ¨re Ă©quivalente, \cmdprint{\displaybreak} force un saut de
page.

\tipbox{Ă€ moins d'en ĂŞtre vraiment aux toutes derniĂ¨res Ă©tapes
  d'Ă©dition d'un document, utilisez la commande
  \cmdprint{\displaybreak} avec parcimonie et avec un argument
  optionnel faible.}


\section{CaractĂ¨res gras en mathĂ©matiques}
\label{sec:math:gras}

Les caractĂ¨res gras sont parfois utilisĂ©s en mathĂ©matiques,
particuliĂ¨rement pour reprĂ©senter les vecteurs et les matrices:
\begin{equation*}
  \symbf{A} \symbf{x} = \symbf{b} \Leftrightarrow
  \symbf{x} = \symbf{A}^{-1} \symbf{b}
\end{equation*}

Pourquoi consacrer une section spĂ©cialement Ă&nbsp; cette convention
typographique? Parce que la crĂ©ation de symboles mathĂ©matiques en
gras doit certainement figurer parmi les questions les plus
frĂ©quemment posĂ©es par les utilisateurs de {\LaTeX}\dots\ et que la
rĂ©ponse n'est pas unique!

La commande
\begin{lstlisting}
\mathbf`\marg{symbole}'
\end{lstlisting}
place \meta{symbole} en caractĂ¨re gras en mode mathĂ©matique. C'est
donc l'analogue de la commande \cmd{\textbf} du mode texte. Dans
{\LaTeX} de base, la commande n'a toutefois un effet que sur les
lettres latines et, parfois, les lettres grecques majuscules.
\begin{demo}
  \begin{texample}[0.6\linewidth]
\begin{lstlisting}
\theta \mathbf{\theta} +
\Gamma \mathbf{\Gamma} \mathbf{+}
A \mathbf{A}
\end{lstlisting}
    \producing
    %% ok, ici il faut vraiment tricher pour reproduire avec
    %% unicode-math ce qui se produirait avec pdflatex standard
    $\theta {\theta} + \Gamma \symbf{\Gamma} {+} A \symbfup{A}$
  \end{texample}
\end{demo}
On remarquera aussi que \verb=\mathbf{A}= produit une lettre
majuscule droite plutĂ´t qu'en italique.

La maniĂ¨re la plus standard et robuste d'obtenir des symboles
mathĂ©matiques (autres que les lettres) en gras semble ĂŞtre, au moment
d'Ă©crire ces lignes, via la commande
\begin{lstlisting}
\bm`\marg{symbole}'
\end{lstlisting}
fournie par le paquetage \pkg{bm} \citep{bm}.
\begin{demo}
  \begin{texample}[0.6\linewidth]
\begin{lstlisting}
\theta \bm{\theta} +
\Gamma \bm{\Gamma} \bm{+}
A \bm{A}
\end{lstlisting}
    \producing
    %% ok, ici il faut vraiment tricher pour reproduire avec
    %% unicode-math ce qui se produirait avec pdflatex standard
    $\theta \symbf{\theta} + \Gamma \symbfup{\Gamma} \symbf{+} A
    \symbf{A}$
  \end{texample}
\end{demo}

Les utilisateurs de {\XeLaTeX} chargent normalement le paquetage
\pkg{unicode-math} \citep{unicode-math} pour sĂ©lectionner la police
pour les mathĂ©matiques. Ce paquetage fournit la commande
\begin{lstlisting}
\symbf`\marg{symbole}'
\end{lstlisting}
pour placer un \meta{symbole} mathĂ©matique en gras. Le paquetage offre
diffĂ©rentes combinaisons de lettres latines et grecques droites ou
italiques en gras selon la valeur de l'option \code{bold-style};
consulter la section~5 de la %
\doc{unicode-math}{https://texdoc.net/pkg/unicode-math}. %
\begin{demo}
  \begin{texample}[0.6\linewidth]
\begin{lstlisting}
% XeLaTeX + paquetage unicode-math
% avec l'option bold-style=ISO
\theta \symbf{\theta} +
\Gamma \symbf{\Gamma} \symbf{+}
A \symbf{A}
\end{lstlisting}
    \producing
    $\theta \symbf{\theta} + \Gamma \symbf{\Gamma} \symbf{+} A
    \symbf{A}$
  \end{texample}
\end{demo}

Si le gras est frĂ©quemment utilisĂ© dans un document pour une notation
particuliĂ¨re, il est fortement recommandĂ© de dĂ©finir une nouvelle
commande\footnote{%
  La dĂ©finition de nouvelles commandes est couvert plus en dĂ©tail au
  \autoref{chap:commandes}.} sĂ©mantique plutĂ´t que d'utiliser Ă&nbsp;
rĂ©pĂ©tition l'une ou l'autre des commandes ci-dessus. Par exemple, si
le gras est utilisĂ© pour les vecteurs et matrices, vous pourriez
dĂ©finir une nouvelle commande \cmdprint{\mat} en insĂ©rant dans le
prĂ©ambule du document
\begin{lstlisting}
\newcommand[1]{\mat}{\bm{#1}}
\end{lstlisting}

\begin{exemple}
  \label{ex:math:matrices}
  Le paquetage \pkg{amsmath} fournit quelques environnements qui
  facilitent la mise en forme de matrices; ils diffĂ¨rent simplement
  par le type de dĂ©limiteur autour de la matrice. Ainsi, le bloc
  d'Ă©quations
  \begin{align*}
    \mat{J}(\mat{\theta})
    &amp;=
      \begin{bmatrix}
        \dfrac{\partial f_1(\mat{\theta})}{\partial \theta_1} &amp;
        \dfrac{\partial f_1(\mat{\theta})}{\partial \theta_2} \\[12pt]
        \dfrac{\partial f_2(\mat{\theta})}{\partial \theta_1} &amp;
        \dfrac{\partial f_2(\mat{\theta})}{\partial \theta_2}
      \end{bmatrix} \\
    &amp;=
      \left[
      \frac{\partial f_i(\mat{\theta})}{\partial \theta_j}
      \right]_{2 \times 2}, \quad i, j = 1, 2.
  \end{align*}
  a Ă©tĂ© composĂ© avec le code suivant:
\begin{lstlisting}
\begin{align*}
  \mat{J}(\mat{\theta})
  &amp;=
  \begin{bmatrix}
    \dfrac{\partial f_1(\mat{\theta})}{\partial \theta_1} &amp;
    \dfrac{\partial f_1(\mat{\theta})}{\partial \theta_2}
    \\[12pt] % augmenter l'espace entre les lignes
    \dfrac{\partial f_2(\mat{\theta})}{\partial \theta_1} &amp;
    \dfrac{\partial f_2(\mat{\theta})}{\partial \theta_2}
  \end{bmatrix} \\
  &amp;=
  \left[
  \frac{\partial f_i(\mat{\theta})}{\partial \theta_j}
  \right]_{2 \times 2}, \quad i, j = 1, 2.
\end{align*}
\end{lstlisting}
  La commande \cmd{\dfrac} (\autoref{sec:math:bases:fractions}) a
  servi Ă&nbsp; composer des grandes fractions Ă&nbsp; l'intĂ©rieur des matrices.
  J'ai Ă©galement eu recours Ă&nbsp; la commande \cmdprint{\mat} ci-dessus. %
  \qed
\end{exemple}


\notebox{Le paquetage \pkg{unicode-math} offre l'option \code{ISO}
  pour le traitement du gras dans les mathĂ©matiques. En fait, c'est
  toute la composition des mathĂ©matiques qui fait l'objet d'un
  standard ISO!

  Plusieurs prescriptions du standard --- comme les noms de variables
  en italique --- sont dĂ©jĂ&nbsp; prises en compte par {\LaTeX}. Le respect
  de certaines autres rĂ¨gles est moins rĂ©pandu, notamment celle qui
  veut que les constantes mathĂ©matiques dont la valeur ne change pas
  (ce sont des constantes, aprĂ¨s tout) soient reprĂ©sentĂ©es en police
  droite. On pense, par exemple, au nombre d'Euler $\mathrm{e}$, au
  nombre imaginaire $\mathrm{i} = \sqrt{-1}$. MĂŞme chose pour les
  opĂ©rateurs mathĂ©matiques, dont le $\mathrm{d}$ dans les dĂ©rivĂ©es et
  les intĂ©grales.

  Voici un exemple d'intĂ©grale composĂ©e avec ces rĂ¨gles:
  \begin{equation*}
    \int_C \frac{\mathrm{e}^z}{z}\, \mathrm{d}z = 2 \pi \mathrm{i}.
  \end{equation*}
  Pour en savoir plus sur l'utilisation du standard ISO dans {\LaTeX},
  consulter \citet{Beccari:ISO} ou, pour un sommaire rapide, l'%
  \link{https://nickhigham.wordpress.com/2016/01/28/typesetting-mathematics-according-to-the-iso-standard}{entrĂ©e de blogue} %
  de Nick Higham.}


%%%
%%% Exercices
%%%

\section{Exercices}
\label{sec:math:exercices}

\Opensolutionfile{solutions}[solutions-mathematiques]

\begin{Filesave}{solutions}
\section*{Chapitre \ref*{chap:math}}
\addcontentsline{toc}{section}{Chapitre \protect\ref*{chap:math}}

\end{Filesave}

\begin{exercice}
  Utiliser le gabarit de document \fichier{exercice-gabarit.tex} pour
  reproduire le texte suivant:
  \begin{quote}
    La dĂ©rivĂ©e de la fonction composĂ©e $f \circ g(x) = f[g(x)]$ est
    $\{f[g(x)]\}^\prime = f^\prime[g(x)] g^\prime(x)$. La dĂ©rivĂ©e
    seconde du produit des fonctions $f$ et $g$ est
    \begin{equation*}
      [f(x) g(x)]^{\prime\prime} =
      f^{\prime\prime}(x) g(x) + 2 f^\prime(x) g^\prime(x) +
      f(x) g^{\prime\prime}(x).
    \end{equation*}
  \end{quote}
  \begin{sol}
    La commande pour produire le symbole $\circ$ se trouve dans le
    \autoref{tab:math:binaires}. Il est possible de produire les
    symboles de dĂ©rivĂ©e $\prime$ avec la commande \cmd{\prime}
    (\autoref{tab:math:autres}) ou simplement avec le caractĂ¨re
    \verb='=.
\begin{lstlisting}
La dĂ©rivĂ©e de la fonction composĂ©e $f \circ g(x) =
f[g(x)]$ est $\{f[g(x)]\}^\prime = f^\prime[g(x)]
g^\prime(x)$. La dĂ©rivĂ©e seconde du produit des
fonctions $f$ et $g$ est
\begin{equation*}
  [f(x) g(x)]^{\prime\prime} =
  f^{\prime\prime}(x) g(x) + 2 f^\prime(x) g^\prime(x) +
  f(x) g^{\prime\prime}(x).
\end{equation*}
\end{lstlisting}
  \end{sol}
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Composer l'Ă©quation suivante avec l'environnement \Pe{align*}:
  \begin{align*}
    f(x +&amp; h, y + k)
    = f(x, y) +
      \left\{
      \frac{\partial f(x, y)}{\partial x} h +
      \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} k
      \right\} \\
    &amp;+
      \frac{1}{2}
      \left\{
      \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x^2} h^2 +
      \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial x \partial y} kh +
      \frac{\partial^2 f(x, y)}{\partial y^2} k^2
      \right\} \\
    &amp;+
      \frac{1}{6} \{\cdots\} + \dots + \frac{1}{n!} \{\cdots\} + R_n.
  \end{align*}
  Aligner les deuxiĂ¨me et troisiĂ¨me lignes de l'Ă©quation sur divers
  caractĂ¨res de la premiĂ¨re ligne afin que l'Ă©quation ne dĂ©passe pas
  les marges du document.
  \begin{sol}
    Les lignes de l'Ă©quation sont alignĂ©es juste Ă&nbsp; droite du premier
    symbole $+$ Ă&nbsp; la premiĂ¨re ligne. Remarquez l'usage des commandes
    \cmd{\cdots} et \cmd{\dots} dans la derniĂ¨re ligne: {\LaTeX}
    choisit correctement la position centrĂ©e des points entre les
    opĂ©rateurs d'addition, mais pas entre les accolades.
\begin{lstlisting}
\begin{align*}
  f(x +&amp; h, y + k) = f(x, y) +
    \left\{
    \frac{\partial f(x,y)}{\partial x} h +
    \frac{\partial f(x,y)}{\partial y} k
    \right\} \\
  &amp;+
    \frac{1}{2}
    \left\{
    \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2} h^2 +
    \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x \partial y} kh +
    \frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2} k^2
    \right\} \\
  &amp;+
    \frac{1}{6} \{\cdots\} + \dots +
    \frac{1}{n!} \{\cdots\} + R_n.
\end{align*}
\end{lstlisting}
  \end{sol}
\end{exercice}

\begin{exercice}
  Composer Ă&nbsp; l'aide de l'environnement \Ie{cases}
  (\autoref{sec:math:delimiteurs}) la dĂ©finition de la fonction
  $\tilde{f}(x)$:
  \begin{equation*}
    \tilde{f}(x) =
    \begin{cases}
      0, &amp; x \leq c_0\\
      \dfrac{F_n(c_j) - F_n(c_{j-1})}{c_j - c_{j-1}} =
      \dfrac{n_j}{n (c_j - c_{j - 1})}, &amp;  c_{j-1} &lt; x \leq c_j\\
      0, &amp; x &gt; c_r.
    \end{cases}
  \end{equation*}
  Il est nĂ©cessaire d'imposer la taille des fractions dans la seconde
  branche de la dĂ©finition Ă&nbsp; l'aide des fonctions de la
  \autoref{sec:math:bases:fractions}.
  \begin{sol}
    Il faut utiliser \cmd{\dfrac} pour obtenir des fractions dans une
    branche de \Pe{cases} de la mĂŞme taille que dans une Ă©quation hors
    paragraphe:
\begin{lstlisting}
\begin{equation*}
  \tilde{f}(x) =
  \begin{cases}
    0, &amp; x \leq c_0\\
    \dfrac{F_n(c_j) - F_n(c_{j-1})}{c_j - c_{j-1}} =
    \dfrac{n_j}{n (c_j - c_{j - 1})}, &amp;
      c_{j-1} &lt; x \leq c_j \\
    0, &amp; x &gt; c_r.
  \end{cases}
\end{equation*}
\end{lstlisting}
  \end{sol}
\end{exercice}

\begin{exercice}[nosol]
  Le fichier \fichier{exercice-mathematiques.tex} contient un exemple
  complet de dĂ©veloppement mathĂ©matique. Ă‰tudier le contenu du fichier
  puis compiler celui-ci tel quel avec {pdf\LaTeX} ou {\XeLaTeX}.
  Effectuer ensuite les modifications suivantes.
  \begin{enumerate}
  \item Charger le paquetage \pkg{amsfonts} dans le prĂ©ambule, puis
    remplacer \verb=$R^+$= par \verb=$\mathbb{R}^+$= Ă&nbsp; la ligne
    dĂ©butant par Â«Le domaineÂ».
  \item Dans l'Ă©quation du Jacobien de la transformation, remplacer
    successivement l'environnement \Ie{vmatrix} par %
    \Ie{pmatrix}, %
    \Ie{bmatrix}, %
    \Ie{Bmatrix} et %
    \Ie{Vmatrix}. Observer l'effet sur les dĂ©limiteurs de la matrice.
  \item Toujours dans la mĂŞme matrice, composer successivement les
    deux fractions avec les commandes \cmd{\frac}, \cmd{\tfrac} et
    \cmd{\dfrac}. Observer le rĂ©sultat.
  \item RĂ©duire l'espacement de part et d'autre du symbole
    $\Leftrightarrow$ dans la seconde Ă©quation hors paragraphe.
  \item Ă€ l'aide de la fonction Rechercher et remplacer de l'Ă©diteur
    de texte, remplacer toutes les occurrences du symbole $\theta$ par
    $\lambda$.
  \end{enumerate}
\end{exercice}

\Closesolutionfile{solutions}

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "formation-latex-ul"
%%% TeX-engine: xetex
%%% coding: utf-8
%%% End:
</pre></body></html>