<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[letterpaper,11pt,english,french]{memoir}
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  \title{Exemple de document Ă©laborĂ©}
  \author{Vincent Goulet}

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\begin{document}

\frontmatter                    % pages liminaires

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\end{titlingpage}
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\mainmatter                     % corps du document

\chapter{ArithmĂ©tique des ordinateurs}
\label{chap:ordinateurs}

\section{Les ordinateurs ne savent pas compter}
\label{sec:ordinateurs:introduction}

Le type de bogue le plus frĂ©quemment rapportĂ© dans les forums de
discussion de R a trait au fait que le logiciel ne retourne
pas le bon rĂ©sultat lors d'opĂ©rations arithmĂ©tiques simples.

On devine que les crĂ©ateurs de R n'ont pas nĂ©gligĂ© une fonctionnalitĂ©
aussi fondamentale pour un langage mathĂ©matique que le calcul
arithmĂ©tique. Les supposĂ©es erreurs ci-dessus relĂ¨vent toutes de la
reprĂ©sentation interne des nombres dans un ordinateur et d'erreurs
d'arrondi inhĂ©rentes aux opĂ©rations arithmĂ©tiques avec ces nombres. En
effet, un des plus cĂ©lĂ¨bres principes de programmation proposĂ©s par
\cite{Kernighan:style:1978} est:
\begin{center}
  \label{programming_principle}
  $10,0$ fois $0,1$ ne donne jamais vraiment $1,0$.
\end{center}
D'ailleurs, les auteurs des faux rapports de bogues dans
\texttt{r-help} sont invariablement renvoyĂ©s Ă&nbsp; l'\href{http://cran.r-project.org/doc/FAQ/R-FAQ.html#Why-doesn_0027t-R-think-these-numbers-are-equal_003f}{entrĂ©e 7.31} de la
foire aux questions\footnote{%
  \url{https://cran.r-project.org/doc/FAQ/R-FAQ.html}} %
de R.

Pour quiconque travaille rĂ©guliĂ¨rement avec un ordinateur pour faire
du calcul scientifique, connaitre globalement le fonctionnement
interne d'un ordinateur peut s'avĂ©rer prĂ©cieux pour les raisons
suivantes, entre autres:
\begin{itemize}
\item Ă©viter les erreurs d'arrondi et de troncature;
\item Ă©viter les dĂ©passements et soupassements de capacitĂ©
  (\emph{overflow} et \emph{underflow});
\item optimiser le code informatique.
\end{itemize}

Ce chapitre se penche sur les grands principes de l'arithmĂ©tique des
ordinateurs. En fait, les ordinateurs ne savent pas faire
d'arithmĂ©tique Ă&nbsp; proprement parler. Ils ne connaissent que deux Ă©tats:
ouvert (1) et fermĂ© (0). Nous en profiterons donc d'abord pour rĂ©viser
la conversion des nombres dĂ©cimaux vers, et de, n'importe quelle base.
AprĂ¨s avoir, Ă&nbsp; la \autoref{sec:ordinateurs:unites}, introduit les
principales unitĂ©s de mesure en informatique, nous expliquerons la
reprĂ©sentation interne des nombres dans un ordinateur en nous
concentrant sur la double prĂ©cision. Nous pourrons ainsi justifier que
les ordinateurs ne peuvent reprĂ©senter qu'un sous-ensemble des nombres
rĂ©els, d'oĂą les erreurs d'arrondi et de troncature. La
\autoref{sec:ordinateurs:arithmetique} explique comment ces erreurs
surviennent. On y donne Ă©galement quelques pistes pour Ă©viter ou pour
diminuer l'impact de ces erreurs. Enfin, le chapitre se clĂ´t par un
survol d'un sujet quelque peu pĂ©riphĂ©rique: la reprĂ©sentation interne
des caractĂ¨res.


\section{Conversion de base}
\label{sec:ordinateurs:conversion}

La \emph{base}, dans un systĂ¨me de numĂ©ration, est le nombre de
symboles (habituellement les chiffres) qui pourront servir Ă&nbsp; exprimer
des nombres. L'humain s'est habituĂ© Ă&nbsp; compter en base $10$, le systĂ¨me
\emph{dĂ©cimal}, oĂą les symboles sont $0, 1, \dots, 9$. De nos jours,
la grande majoritĂ© des ordinateurs travaillent toutefois en base $2$, le
systĂ¨me \emph{binaire}. Les autres systĂ¨me d'usage courant,
principalement en informatique, sont l'\emph{octal} (base $8$) et
l'\emph{hexadĂ©cimal} (base $16$). Dans ce dernier systĂ¨me, les symboles
utilisĂ©s pour les nombres $10$--$15$ sont gĂ©nĂ©ralement les lettres A--F.
(C'est pourquoi l'on retrouve ces six lettres sur le pavĂ© des
calculatrices scientifiques).

Cette section Ă©tudie la conversion des nombres entre la base $10$ et une
autre base quelconque.

\subsection{Notation et dĂ©finitions}
\label{sec:ordinateurs:conversion:notation}

De maniĂ¨re gĂ©nĂ©rale, soit $x$ un nombre (entier pour le moment) dans
la base de numĂ©ration $b$ composĂ© de $m$ chiffres ou symboles, c'est-Ă&nbsp;-dire
\begin{equation*}
  x = x_{m-1}x_{m-2} \cdots x_1x_0,
\end{equation*}
oĂą $0 \leq x_i \leq b - 1$. On a donc
\begin{equation}
  \label{eq:ordinateurs:def_base}
  x = \sum_{i = 0}^{m - 1} x_i b^i.
\end{equation}

Lorsque le contexte ne permet pas de dĂ©terminer avec certitude la base
d'un nombre, celle-ci est identifiĂ©e en indice du nombre par un nombre
dĂ©cimal. Par exemple, $10011_2$ est le nombre binaire $10011$.

\begin{exemple}
  Soit le nombre dĂ©cimal $348$. Selon la notation ci-dessus, on a $x_0 =
  8$, $x_1 = 4$, $x_2 = 3$ et $b = 10$. En effet,
  \begin{displaymath}
    348 = 3 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 8 \times 10^0.
  \end{displaymath}
  Ce nombre a les reprĂ©sentations suivantes dans d'autres bases. En binaire:
  \begin{align*}
    101011100_{2}
    &amp;= 1 \times 2^8 + 0 \times 2^7 + 1 \times 2^6 \\
    &amp;\phantom{=} + 0 \times 2^5 + 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 \\
    &amp;\phantom{=} + 1 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 0 \times 2^0.
  \end{align*}
  En octal:
  \begin{equation*}
    534_{8} = 5 \times 8^2 + 3 \times 8^1 + 4 \times 8^0.
  \end{equation*}
  En hexadĂ©cimal:
  \begin{equation*}
    15\mathrm{C}_{16} = 1 \times 16^2 + 5 \times 16^1 + 12 \times 16^0.
  \end{equation*}
  Des reprĂ©sentations ci-dessus, l'hexadĂ©cimale est la plus compacte:
  elle permet de reprĂ©senter avec un seul symbole un nombre binaire
  comptant jusqu'Ă&nbsp; quatre chiffres. C'est, entre autres, pourquoi
  c'est une reprĂ©sentation populaire en informatique.%
  \qed
\end{exemple}

Dans un ordinateur rĂ©el (par opposition Ă&nbsp; thĂ©orique), l'espace
disponible pour stocker un nombre est fini, c'est-Ă&nbsp;-dire que $m &lt;
\infty$. Le plus grand nombre que l'on peut reprĂ©senter avec $m$
chiffres ou symboles en base $b$ est
\begin{align*}
  x_{\text{max}}
  &amp;= \sum_{i = 0}^{m - 1} (b - 1) b^i \\
  &amp;= (b - 1) \sum_{i = 0}^{m - 1} b^i \\
  &amp;= (b - 1)
  \left(
    \frac{b^m - 1}{b - 1}
  \right) \\
  &amp;= b^m - 1.
\end{align*}

Par exemple, le plus grand nombre dĂ©cimal reprĂ©sentable avec $m = 4$
symboles est
\begin{equation*}
  x_{\text{max}} = \nombre{9999} = \nombre{10000} - 1 = 10^4 - 1,
\end{equation*}
alors que le plus grand nombre binaire est seulement
\begin{equation*}
  x_{\text{max}} = 1111 = 10000 - 1 = 2^4 - 1 = 15_{10}.
\end{equation*}

Par une extension naturelle de ce qui prĂ©cĂ¨de, un nombre composĂ© de $m
\geq 0$ symboles dans sa partie entiĂ¨re et $n \geq 0$ symboles dans sa
partie fractionnaire est reprĂ©sentĂ© en base $b$ comme
\begin{align*}
  x
  &amp;= x_{m-1}x_{m-2} \cdots x_1x_0,x_{-1}x_{-2} \cdots x_{-n} \\
  &amp;= \sum_{i = -n}^{m - 1} x_i b^i.
\end{align*}
Le symbole qui sĂ©pare les parties entiĂ¨re et fractionnaire du nombre
est la \emph{sĂ©paration fractionnaire} (une virgule en franĂ§ais, un
point en anglais).


\subsection{Conversion vers une base quelconque}
\label{sec:ordinateurs:conversion:10_vers_b}

Avant de discuter de la conversion de nombres dĂ©cimaux vers une base
quelconque, il convient de dĂ©finir les notions de \emph{quotient} et
de \emph{reste} d'une division.

Le quotient est la partie entiĂ¨re de la division de deux entiers $a$
et $d$; sa reprĂ©sentation mathĂ©matique habituelle est
\begin{equation}
  \label{eq:ordinateurs:quotient}
  q = \left\lfloor \frac{a}{d} \right\rfloor,
\end{equation}
oĂą $\lfloor x \rfloor$ est la fonction qui retourne le plus grand
entier infĂ©rieur ou Ă©gal Ă&nbsp; $x$. Le reste de la division est simplement
la valeur
\begin{equation}
  \label{eq:ordinateurs:remainder}
  r = a - d \left\lfloor \frac{a}{d} \right\rfloor.
\end{equation}
Ă‰videmment, on a $r \in \{0, 1, \dots, d - 1\}$. Le reste est le
rĂ©sultat de l'opĂ©ration modulo, notĂ©e $r = a \bmod d$.

On remarquera que le premier chiffre en partant de la droite d'un
entier dĂ©cimal est le reste de la division de ce nombre par $10$, que le
second chiffre est le reste de la division par $10$ du quotient de la
division prĂ©cĂ©dente, et ainsi de suite. La conversion d'un nombre
dĂ©cimal en une base $b$ implique simplement de diviser par $b$ plutĂ´t
que par $10$ et de dĂ©terminer le symbole dans la base $b$ correspondant
au reste de chaque division.

L'algorithme suivant reprend ses idĂ©es sous forme plus formelle et en
ajoutant le traitement de la partie fractionnaire. Nous dĂ©montrerons
plus loin qu'il n'est pas rĂ©ellement nĂ©cessaire de savoir effectuer la
conversion de la partie fractionnaire d'un nombre rĂ©el.

\begin{algorithme}[Conversion de la base $10$ vers la base $b$]
  \label{algo:ordinateurs:10_vers_b}
  Soit $x$ un nombre rĂ©el en base $10$.
  \begin{enumerate}
  \item Poser $i \leftarrow 0$ et $v \leftarrow \lfloor x \rfloor$.
  \item RĂ©pĂ©ter les Ă©tapes suivantes jusqu'Ă&nbsp; ce que $v = 0$:
    \begin{enumerate}
    \item Poser $d_i \leftarrow v \bmod b$ et trouver $x_i$, le
      symbole dans la base $b$ correspondant Ă&nbsp; $d_i$;
    \item Poser $v \leftarrow \lfloor v/b \rfloor$;
    \item Poser $i \leftarrow i + 1$.
    \end{enumerate}
  \item Poser $i \leftarrow 1$ et $v \leftarrow x - \lfloor x
    \rfloor$.
  \item RĂ©pĂ©ter les Ă©tapes suivantes jusqu'Ă&nbsp; ce que $v = 0$ ou que $i
    = n$ (le nombre voulu ou maximal de chiffres aprĂ¨s la sĂ©paration
    fractionnaire):
    \begin{enumerate}
    \item Poser $d_{-i} \leftarrow \lfloor bv \rfloor$ et trouver $x_{-i}$, le
      symbole dans la base $b$ correspondant Ă&nbsp; $d_{-i}$;
    \item Poser $v \leftarrow bv - d_{-i}$;
    \item Poser $i \leftarrow i + 1$.
    \end{enumerate}
  \item Retourner
    \begin{displaymath}
      x_b = x_{m-1}x_{m-2} \cdots x_1x_0,x_{-1}x_{-2} \cdots x_{-n}.
    \end{displaymath}
  \end{enumerate}
\end{algorithme}

\begin{exemple}
  \label{ex:ordinateurs:10_vers_b}
  Soit le nombre dĂ©cimal $23,31$ que l'on convertit en binaire (base
  $2$) avec un maximum de cinq chiffres aprĂ¨s la sĂ©paration
  fractionnaire ($n = 5$). Le \autoref{tab:ordinateurs:10_vers_b}
  montre le processus en suivant les Ă©tapes de
  l'\autoref{algo:ordinateurs:10_vers_b}. On obtient le
  rĂ©sultat final en combinant la derniĂ¨re colonne du
  \autoref{tab:ordinateurs:10_vers_b:a} lue de bas en haut avec la
  derniĂ¨re colonne du \autoref{tab:ordinateurs:10_vers_b:b} lue de
  haut en bas. Ainsi, la reprĂ©sentation binaire du $23,31$ limitĂ©e Ă&nbsp;
  cinq chiffres aprĂ¨s la virgule est $10111,01001$.

  \begin{table}
    \caption{Conversion du nombre dĂ©cimal $23,31$ en binaire.}
    \label{tab:ordinateurs:10_vers_b}
    \begin{minipage}[t]{0.45\linewidth}
      \subcaption{partie entiĂ¨re}
      \label{tab:ordinateurs:10_vers_b:a}
      \begin{tabular*}{\linewidth}{crrcc}
        \toprule
        $i$ &amp; \multicolumn{1}{c}{$v$} &amp; $\lfloor v/2 \rfloor$ &amp; $v \bmod 2$ &amp; $x_i$ \\
        \midrule
        $0$ &amp; $23$ &amp; $11$ &amp; $1$ &amp; $1$ \\
        $1$ &amp; $11$ &amp;  $5$ &amp; $1$ &amp; $1$ \\
        $2$ &amp;  $5$ &amp;  $2$ &amp; $1$ &amp; $1$ \\
        $3$ &amp;  $2$ &amp;  $1$ &amp; $0$ &amp; $0$ \\
        $4$ &amp;  $1$ &amp;  $0$ &amp; $1$ &amp; $1$ \\
        \bottomrule
      \end{tabular*}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}[t]{0.45\linewidth}
      \subcaption{partie fractionnaire}
      \label{tab:ordinateurs:10_vers_b:b}
      \begin{tabular*}{\linewidth}{ccccc}
        \toprule
        $i$ &amp; $v$ &amp; $2v$ &amp; $\lfloor 2v \rfloor$ &amp; $x_{-i}$ \\
        \midrule
        $1$ &amp; $0,31$ &amp; $0,62$ &amp; $0$ &amp; $0$ \\
        $2$ &amp; $0,62$ &amp; $1,24$ &amp; $1$ &amp; $1$ \\
        $3$ &amp; $0,24$ &amp; $0,48$ &amp; $0$ &amp; $0$ \\
        $4$ &amp; $0,48$ &amp; $0,96$ &amp; $0$ &amp; $0$ \\
        $5$ &amp; $0,96$ &amp; $1,92$ &amp; $1$ &amp; $1$ \\
        \bottomrule
      \end{tabular*}
    \end{minipage}
  \end{table}
  \qed
\end{exemple}

\begin{exemple}
  \label{ex:ordinateurs:10_vers_b:bis}
  Soit de nouveau la conversion de $23,31$ en binaire avec une partie
  fractionnaire d'au plus cinq chiffres. En suivant les Ă©tapes de la
  remarque ci-dessus, on a:
  \begin{enumerate}
  \item $23,31 \times 2^5 = 23,31 \times 32 = 745,92$;
  \item la reprĂ©sentation binaire de $745 = 2^9 + 2^7 + 2^6 + 2^5 +
    2^3 + 1$ est $1011101001$;
  \item enfin, en dĂ©plaĂ§ant la virgule de cinq positions vers la
    gauche, on obtient $10111,01001$, comme Ă&nbsp;
    l'\autoref{ex:ordinateurs:10_vers_b}.
  \end{enumerate}
  \qed
\end{exemple}

On tire une conclusion intĂ©ressante de la procĂ©dure ci-dessus. S'il
existe un entier $k \leq n$ tel que la partie fractionnaire de $x$ est
un multiple de $1/b^k$, alors la multiplication de $x$ par $b^k$
rĂ©sultera en un entier. Par consĂ©quent, la reprĂ©sentation de $x$ en
base $b$ aura une partie fractionnaire de longueur finie. Ainsi, pour
obtenir une reprĂ©sentation binaire finie, la partie fractionnaire d'un
nombre rĂ©el doit ĂŞtre un multiple de $\frac{1}{2}, \frac{1}{4},
\frac{1}{8}, \dots$ Ce n'Ă©tait pas le cas Ă&nbsp;
l'\autoref{ex:ordinateurs:10_vers_b:bis} (la partie fractionnaire
Ă©tant $0,31$), d'oĂą la nĂ©cessitĂ© de limiter le nombre de chiffres
aprĂ¨s la virgule.

\subsection{Conversion en dĂ©cimal}
\label{sec:ordinateurs:conversion:b_vers_10}

La conversion d'un nombre en base $b$ vers la base $10$ repose
essentiellement sur la dĂ©finition \eqref{eq:ordinateurs:def_base},
mais avec chaque symbole $x_i$ remplacĂ© pour son Ă©quivalent dĂ©cimal.
Un algorithme de conversion est le suivant.

\begin{algorithme}[Conversion de la base $b$ vers la base $10$]
  \label{algo:ordinateurs:b_vers_10}
  Soit $x$
  \begin{displaymath}
    x_b = x_{m-1}x_{m-2} \cdots x_1x_0,x_{-1}x_{-2} \cdots x_{-n}
  \end{displaymath}
  un nombre rĂ©el en base $b$.
  \begin{enumerate}
  \item Poser $x \leftarrow 0$ et $y \leftarrow 0$.
  \item Pour $i = m - 1, m - 2, \dots, 0$, faire les Ă©tapes suivantes:
    \begin{enumerate}
    \item Trouver $d_i$, le nombre dĂ©cimal correspondant au symbole
      $x_i$;
    \item Poser $x \leftarrow x b + d_i$.
    \end{enumerate}
  \item Pour $i = -n, -n + 1, \dots, -1$, faire les Ă©tapes suivantes:
    \begin{enumerate}
    \item Trouver $d_i$, le nombre dĂ©cimal correspondant au symbole
      $x_i$;
    \item Poser $y \leftarrow (y + d_i)/b$.
    \end{enumerate}
  \item Retourner $x + y$.
  \end{enumerate}
\end{algorithme}

On peut, ici aussi, aisĂ©ment Ă©viter de devoir convertir la partie
fractionnaire. Il suffit de dĂ©placer la virgule de $n$ positions vers
la droite dans le nombre $x_b$ de maniĂ¨re Ă&nbsp; obtenir un entier, de
convertir ce nombre en dĂ©cimal avec les Ă©tapes 1 et 2 de
l'\autoref{algo:ordinateurs:b_vers_10} et, finalement, de
diviser le nombre obtenu par $b^n$.

\begin{exemple}
  \label{ex:ordinateurs:b_vers_10}
  On convertit le nombre binaire $101011,011$ en dĂ©cimal. Le
  \autoref{tab:ordinateurs:b_vers_10} illustre le processus de
  conversion selon l'\autoref{algo:ordinateurs:b_vers_10} (le chiffre
  en surbrillance est celui traitĂ© lors de chaque Ă©tape de
  l'algorithme). Le rĂ©sultat final est $43,375$.

  De maniĂ¨re Ă©quivalente, mais plus simple, on peut dĂ©placer la
  virgule de trois positions vers la droite pour obtenir l'entier
  binaire $101011011$. Ce nombre est $2^8 + 2^6 + 2^4 + 2^3 + 2 + 1 =
  347$ en dĂ©cimal. Enfin, $347 \div 2^3 = 43,375$.%
  \qed

  \begin{table}
    \caption{Conversion du nombre binaire $101011,011$ en dĂ©cimal}
    \label{tab:ordinateurs:b_vers_10}
    \begin{minipage}[t]{0.45\linewidth}
      \subcaption{partie entiĂ¨re}
      \begin{tabular*}{\linewidth}{@{\extracolsep{\fill}}ccr}
        \toprule
        $i$ &amp; $d_i$ &amp; $x$ \\
        \midrule
        $5$ &amp; \texthl{$1$}$01011,011$ &amp;  $ 1$ \\
        $4$ &amp; $1$\texthl{$0$}$1011,011$ &amp; $ 2$ \\
        $3$ &amp; $10$\texthl{$1$}$011,011$ &amp; $ 5$ \\
        $2$ &amp; $101$\texthl{$0$}$11,011$ &amp; $10$ \\
        $1$ &amp; $1010$\texthl{$1$}$1,011$ &amp; $21$ \\
        $0$ &amp; $10101$\texthl{$1$}$,011$ &amp; $43$ \\
        \bottomrule
      \end{tabular*}
    \end{minipage}
    \hfill
    \begin{minipage}[t]{0.45\linewidth}
      \subcaption{partie fractionnaire}
      \begin{tabular*}{\linewidth}{@{\extracolsep{\fill}}ccD{.}{,}{1.3}}
        \toprule
        $i$ &amp; $d_{-i}$ &amp; y \\
        \midrule
        $3$ &amp; $101011,01$\texthl{$1$}   &amp; 0.5   \\
        $2$ &amp; $101011,0$\texthl{$1$}$1$ &amp; 0.75  \\
        $1$ &amp; $101011,$\texthl{$0$}$11$ &amp; 0.375 \\
        \bottomrule
      \end{tabular*}
    \end{minipage}
  \end{table}
\end{exemple}


\begin{exemple}
  Soit le nombre hexadĂ©cimal $\mathrm{AC}2,3\mathrm{D}8$. On peut le
  convertir en base $10$ Ă&nbsp; partir de la dĂ©finition:
  \begin{align*}
    \mathrm{AC}2,3\mathrm{D}8
    &amp;= 10 \times 16^2 + 12 \times 16 + 2 + 3 \times 16^{-1} + 13
    \times 16^{-2} + 8 \times 16^{-3} \\
    &amp;= \nombre{2754,240234375}.
  \end{align*}
  \qed
\end{exemple}


\subsection{Conversion avec des bases gĂ©nĂ©rales}
\label{sec:ordinateurs:conversion:bases_generales}

Il existe de nombreuses bases de numĂ©ration d'usage courant oĂą chaque
symbole est (potentiellement) exprimĂ© dans une base diffĂ©rente. On a
qu'Ă&nbsp; penser Ă&nbsp; l'heure ou Ă&nbsp; l'ensemble du systĂ¨me de mesure impĂ©rial.
Or, il peut s'avĂ©rer utile de savoir convertir de et vers une base
quelconque. Le matĂ©riel de cette section se retrouve dans trĂ¨s peu
d'ouvrages d'analyse numĂ©rique ou de statistique numĂ©rique. Pourtant,
il existe quelques applications intĂ©ressantes de la conversion de et
vers des bases gĂ©nĂ©rales, comme nous le verrons.

On peut gĂ©nĂ©raliser la notion de nombre prĂ©sentĂ©e dans les sections
prĂ©cĂ©dentes Ă&nbsp; une collection de Â«symbolesÂ», chacun dans une base
diffĂ©rente. On restreint la discussion aux entiers sans perte de
gĂ©nĂ©ralitĂ©. On a donc
\begin{displaymath}
  x = x_{m-1}x_{m-2} \cdots x_1x_0,
\end{displaymath}
oĂą $x_{m - 1}$ est un nombre en base $b_{m - 1}$, $x_{m - 2}$ est un
nombre en base $b_{m - 2}$, etc. Nous dirons que le nombre $x$ est
exprimĂ© en base $[b_{m - 1}\; b_{m - 2}\; \dots\; b_0]$. On a alors
\begin{equation}
  \label{eq:ordinateurs:def_base_gen}
  x = \sum_{i = 0}^{m - 1} x_i \prod_{j = -1}^{i - 1} b_j,
\end{equation}
avec $b_{-1} = 1$.

Les algorithmes de conversion \ref{algo:ordinateurs:10_vers_b} et
\ref{algo:ordinateurs:b_vers_10} demeurent essentiellement valides
ici. Il suffit de remplacer chaque mention de $b$ par $b_i$.

\begin{exemple}
  Le jour de l'annĂ©e et l'heure du jour est un Â«nombreÂ» exprimĂ© en
  base $[365\; 24\; 60\; 60]$. En utilisant directement
  l'Ă©quation~\eqref{eq:ordinateurs:def_base_gen}, le nombre de
  secondes correspondant Ă&nbsp; 1~jour, 2~heures, 33~minutes et 20~secondes
  est:
  \begin{align*}
    1 \text{ j } 2 \text{ h } 33 \text{ min } 20 \text{ sec}
    &amp;= 1 \times (24)(60)(60) + 2 \times (60)(60) + 33 \times 60 + 20 \\
    &amp;= \nombre{95600} \text{ secondes}.
  \end{align*}
  Si l'on fait la conversion en sens inverse, le nombre de jours,
  heures, minutes et secondes correspondant Ă&nbsp; \nombre{91492} secondes
  est, en utilisant l'\autoref{algo:ordinateurs:10_vers_b} avec la
  base $[365\; 24\; 60\; 60]$: 1~jour, 1~heure, 24~minutes et
  52~secondes (voir le \autoref{tab:ordinateurs:10_vers_generale} pour
  les calculs).
  \begin{table}
    \caption{Conversion du nombre dĂ©cimal $\nombre{91492}$ dans la
      base gĂ©nĂ©rale $[365\; 24\; 60\; 60]$.}
    \label{tab:ordinateurs:10_vers_generale}
    \centering
    \begin{tabular}{&gt;{$}c&lt;{$}&gt;{$}r&lt;{$}&gt;{$}r&lt;{$}&gt;{$}r&lt;{$}&gt;{$}c&lt;{$}&gt;{$}c&lt;{$}}
      \toprule
      i &amp;
      \multicolumn{1}{c}{$v$} &amp;
      \multicolumn{1}{c}{$b_i$} &amp;
      \lfloor v/b_i \rfloor &amp; v \bmod b_i &amp; x_i \\
      \midrule
      0 &amp; \nombre{91492} &amp;  60 &amp; \nombre{1524} &amp; 52 &amp; 52 \\
      1 &amp;  \nombre{1524} &amp;  60 &amp;           25  &amp; 24 &amp; 24 \\
      2 &amp;            25  &amp;  24 &amp;            1  &amp;  1 &amp;  1 \\
      3 &amp;             1  &amp; 365 &amp;            0  &amp;  1 &amp;  1 \\
      \bottomrule
    \end{tabular}
  \end{table}
  \qed
\end{exemple}

Les bases gĂ©nĂ©rales sont particuliĂ¨rement utiles pour assigner ou
extraire les Ă©lĂ©ments d'une matrice ou d'un tableau dans un ordre non
sĂ©quentiel. Typiquement, l'index de l'Ă©lĂ©ment Ă&nbsp; traiter est le
rĂ©sultat d'un calcul. L'exemple suivant illustre cette idĂ©e.

\begin{exemple}
  \label{ex:ordinateurs:position_dans_matrice}
  Soit $\mathbf{A}$ une matrice $4 \times 5$ que l'on suppose remplie en
  ordre lexicographique (par ligne). Il est simple de dĂ©terminer, ici,
  que le 14{\ieme} Ă©lĂ©ment est $a_{34}$. Or, on observe que la
  conversion du nombre $14 - 1 = 13$ dans la base $[4\; 5]$ donne :
  \begin{align*}
    13 \div 5 &amp;= 2 \text{ reste } 3 \quad\Rightarrow\quad x_0 = 3 \\
     2 \div 4 &amp;= 0 \text{ reste } 2 \quad\Rightarrow\quad x_1 = 2,
   \end{align*}
   soit le Â«nombreÂ» $(2, 3)$. En additionnant $1$ Ă&nbsp; ce rĂ©sultat, on
   obtient prĂ©cisĂ©ment la position du 14{\ieme} Ă©lĂ©ment dans la
   matrice. Les opĂ©rations $-1$ et $+1$ sont rendues nĂ©cessaires par
   le fait que les lignes et les colonnes sont numĂ©rotĂ©es Ă&nbsp; partir de
   $1$, alors que les systĂ¨mes de numĂ©ration dĂ©butent Ă&nbsp; $0$.%
   \qed
\end{exemple}



\section{UnitĂ©s de mesure}
\label{sec:ordinateurs:unites}

Les ordinateurs que nous utilisons couramment fonctionnent en base $2$.
La plus petite quantitĂ© d'information qu'un ordinateur peut traiter
est un \emph{bit} (compression de l'anglais \emph{binary digit}). En
informatique, un bit est Ă©gal Ă&nbsp; \fbox{$0$} ou Ă&nbsp; \fbox{$1$}. Le symbole du
bit est b.

Un \emph{octet} (\emph{byte}) est un groupe de huit bits. Son symbole
est o ou B. L'octet est l'unitĂ© de mesure la plus frĂ©quemment utilisĂ©e
en informatique, en grande partie parce que le codage d'un caractĂ¨re
dans la plupart des langues occidentales requiert un octet; voir la
\autoref{sec:ordinateurs:codage}. Les termes pour de plus grandes
quantitĂ©s de bits ou d'octets utilisent gĂ©nĂ©ralement les prĂ©fixes
usuels du systĂ¨me international d'unitĂ©s. Par exemple:
\begin{itemize}
\item $1$ kilooctet (ko) est $2^{10} = \nombre{1 024}$ octets;
\item $1$ mĂ©gaoctet (Mo) est $2^{20} = \nombre{1 048 576}$ octets;
\item $1$ gigaoctet (Go) est $2^{30} = \nombre{1 073 741 824}$ octets.
\end{itemize}
On voit que cette pratique fort rĂ©pandue entraine des distorsions par
rapport aux dĂ©finitions usuelles de kilo, mĂ©ga, giga, etc., et que
cette distorsion s'amplifie au fur et Ă&nbsp; mesure que l'on grimpe dans
l'Ă©chelle des tailles d'objets. Pour cette raison, on a dĂ©fini les
prĂ©fixes kibi, mĂ©bi, gibi, etc., mais ceux-ci demeurent peu utilisĂ©s Ă&nbsp;
ce jour.

Dans l'industrie de l'informatique, on joue beaucoup avec les unitĂ©s
pour montrer son produit sous un jour favorable. Deux exemples:
\begin{enumerate}
\item Les fournisseurs d'accĂ¨s Internet expriment la vitesse de
  tĂ©lĂ©chargement en Mb/sec, alors que la taille des fichiers est
  gĂ©nĂ©ralement affichĂ©e en octets. Il faut donc diviser par 8 la
  vitesse annoncĂ©e pour avoir une idĂ©e plus juste du temps requis pour
  tĂ©lĂ©charger un fichier.
\item Les fabricants de disques durs divisent la capacitĂ© rĂ©elle de
  leurs disques par $10^9$ pour l'exprimer en gigaoctets. Ainsi, un
  disque dont la capacitĂ© annoncĂ©e est de $100$~Go ne peut contenir, en
  fait, que $100 \times 10^9 \div 2^{30} = 93,132$~Go de donnĂ©es.
  Cette confusion serait Ă©liminĂ©e si les fabricants affichaient plutĂ´t
  une capacitĂ© de $93,132$ gibioctets. Moins vendeur\dots
\end{enumerate}



\section{ReprĂ©sentation en virgule flottante}
\label{sec:ordinateurs:ieee}

Cette section dĂ©crit la maniĂ¨re standard de reprĂ©senter les nombres
rĂ©els dans les ordinateurs d'usage courant. Il est utile de
connaitre les grandes lignes afin de comprendre pourquoi les nombres
rĂ©els n'ont pas tous une reprĂ©sentation exacte dans un ordinateur et
comment surviennent et se propagent les erreurs d'arrondi. L'Ă©tude du
sujet est Ă©galement intĂ©ressante en soi pour constater comment les
ingĂ©nieurs et les informaticiens sont parvenus Ă&nbsp; stocker un maximum
d'information dans un espace limitĂ©.

Tel que mentionnĂ© prĂ©cĂ©demment, la capacitĂ© de stockage d'un
ordinateur, bien que vaste de nos jours, n'en demeure pas moins
limitĂ©e. Par consĂ©quent, les nombres y sont reprĂ©sentĂ©s par un
ensemble de $m$ bits. Habituellement, $m$ est un multiple de $2$ et sa
valeur dĂ©termine le type de nombre. Par exemple, des dĂ©finitions
usuelles sont $m = 2^4 = 16$ pour un entier, $m = 2^5 = 32$ pour un
nombre rĂ©el en simple prĂ©cision (\emph{float} dans plusieurs langages
de programmation) et $m = 2^6 = 64$ pour un nombre rĂ©el en double
prĂ©cision (\emph{double}).

Il existe deux grandes faĂ§ons de reprĂ©senter les nombres (rĂ©els) Ă&nbsp;
l'aide de $m$ bits.
\begin{description}
\item[Virgule fixe] Dans cette reprĂ©sentation, la position de la
  virgule dans le nombre est prĂ©dĂ©terminĂ©e et, par consĂ©quent, n'a pas
  besoin d'ĂŞtre conservĂ©e en mĂ©moire. On rĂ©serve alors $m_e$ positions
  pour la partie entiĂ¨re et $m_f$ pour la partie fractionnaire (avec
  $m = m_e + m_f$). La reprĂ©sentation en virgule fixe est
  particuliĂ¨rement utile dans les applications financiĂ¨res.
\item[Virgule flottante] Dans la reprĂ©sentation des nombres en virgule
  flottante, celle-ci peut ĂŞtre placĂ©e n'importe oĂą dans le nombre.
  L'Ă©tendue de cette reprĂ©sentation est beaucoup plus grande que la
  virgule fixe, mais ceci au dĂ©triment de la prĂ©cision puisque
  quelques bits doivent ĂŞtre rĂ©servĂ©s pour stocker la position de la
  virgule dans le nombre.
\end{description}
La reprĂ©sentation en virgule flottante est celle utilisĂ©e dans les
applications scientifiques et celle sur laquelle nous nous concentrons
dans la suite.

La reprĂ©sentation en virgule flottante est analogue Ă&nbsp; la notation
scientifique. Le nombre rĂ©el $x$ est entiĂ¨rement dĂ©fini par un bit de
signe $S$, un exposant positif $E$ et une mantisse $M$ tel que
\begin{equation}
  \label{eq:ordinateurs:def_floating-point}
  x = (-1)^S \times B^{E - e} \times M,
\end{equation}
oĂą $B$ est la base de la reprĂ©sentation et $e$ est un entier
prĂ©dĂ©terminĂ© appelĂ© le dĂ©calage, ou le biais, de l'exposant. Le
recours au dĂ©calage facilite les calculs internes et Ă©vite de devoir
rĂ©server un autre bit pour le signe de l'exposant en le stockant sous
forme non signĂ©e (c'est-Ă&nbsp;-dire sous forme d'entier positif).

La norme IEEE~754 dĂ©finit la maniĂ¨re standard de reprĂ©senter les
nombres en virgule flottante dans les ordinateurs \citep[][pour une
excellente prĂ©sentation]{IEEE:754,Wikipedia:IEEE754}. En premier lieu,
la norme stipule que la base dans la reprĂ©sentation est $B = 2$. Ceci
est implicite et n'est pas stockĂ© oĂą que ce soit dans l'ordinateur. En
second lieu, la norme suppose que, pour les nombres dits
\emph{normalisĂ©s}, la mantisse est toujours de la forme $M = 1,F$, oĂą
$F$ est un entier binaire. Le bit Ă&nbsp; gauche de la virgule est appelĂ© le
\emph{bit cachĂ©} puisqu'il est lui aussi implicite et non stockĂ© dans
l'ordinateur.

Nous dĂ©crivons plus en dĂ©tail la norme pour les nombres rĂ©els en
\emph{double prĂ©cision} puisque c'est le type avec lequel R travaille
toujours\footnote{%
  \label{pg:arithmetique:entiers} Il est possible de crĂ©er des vrais
  entiers dans R en ajoutant un suffixe \code{L} Ă&nbsp; un nombre entier.
  Ainsi, \code{1L} est un nombre entier dans le sens oĂą
  \code{is.integer(1L)} est \code{TRUE}. Cela est relativement peu
  utilisĂ© en programmation normale.}. %
Tout d'abord, un nombre en double prĂ©cision est stockĂ© dans un mot de
$m = 64$~bits (8~octets) divisĂ© ainsi de gauche Ă&nbsp; droite: $m_S = 1$ bit
pour le signe, $m_E = 11$ bits pour l'exposant et $m_F = 52$ bits pour
la partie fractionnaire de la mantisse. Le premier bit du mot utilisĂ©
pour le signe est appelĂ© le \emph{bit fort}. Voir la
\autoref{fig:ordinateurs:double} pour une reprĂ©sentation
schĂ©matique.

\begin{figure}
  \centering
  \begin{equation*}
    \underbrace{
      \underbrace{\fbox{\hspace{0.5pt} $S$ \hspace{0.5pt}}}_{m_S = 1}
      \hspace{1pt}
      \underbrace{\fbox{\hspace{17.5pt} $E$ \hspace{17.5pt}}}_{m_E = 11}
      \hspace{1pt}
      \underbrace{\fbox{\hspace{78pt} $F$ \hspace{78pt}}}_{m_F = 52}%
    }_{m = 64}
  \end{equation*}
  \caption{ReprĂ©sentation schĂ©matique d'un nombre en double prĂ©cision
    dans la norme IEEE~754.}
  \label{fig:ordinateurs:double}
\end{figure}

On remarque que le bit cachĂ© confĂ¨re Ă&nbsp; la mantisse une longueur de mot
effective (ou prĂ©cision) de 53~bits.

Le dĂ©calage est $e = 2^{m_e - 1} - 1 = 2^{10} - 1 = \nombre{1023}$.
Avec une longueur de mot de 11~bits, les valeurs possibles de $E$ vont
de $0$ Ă&nbsp; $2^{11} - 1 = \nombre{2047}$. Cependant, les valeurs $0$ et
$\nombre{2047}$ sont rĂ©servĂ©es pour des usages spĂ©ciaux; voir le
\autoref{tab:ordinateurs:special_values}. Par consĂ©quent, les
valeurs possibles de l'exposant (une fois dĂ©calĂ©) pour les nombres en
double prĂ©cision vont de $-\nombre{1022}$ Ă&nbsp; $\nombre{1023}$.

\begin{table}
  \caption{Valeurs spĂ©ciales dans la norme IEEE~754}
  \label{tab:ordinateurs:special_values}
  \begin{tabular}{crccc}
    \toprule
    $S$ &amp;
    \multicolumn{1}{c}{$E$} &amp;
    $F$ &amp; ReprĂ©sentation binaire &amp; Valeur spĂ©ciale \\
    \midrule
    $0$ &amp; $0$ &amp; $0$ &amp;
      \ieee{0}{00000000000}{00 \cdots 00} &amp; $0$ \\
    $1$ &amp; $0$ &amp; $0$ &amp;
      \ieee{1}{00000000000}{00 \cdots 00} &amp; $-0$ \\
    $0$ &amp; $\nombre{2047}$ &amp; $0$ &amp;
      \ieee{0}{11111111111}{00 \cdots 00} &amp; $+\infty$ \\
    $1$ &amp; $\nombre{2047}$ &amp; $0$ &amp;
      \ieee{1}{11111111111}{00 \cdots 00} &amp; $-\infty$ \\
    $0 \text{ ou } 1$ &amp; $\nombre{2047}$ &amp; $F \neq 0$ &amp;
      \ieee{$S$}{11111111111}{\hspace{1.2em} $F$ \hspace{1.2em}} &amp;
      \code{NaN}$^a$ \\
    \bottomrule
  \end{tabular} \\
  $^a$ \emph{Not a number}, par exemple $\frac{0}{0}$
  ou $\frac{\infty}{\infty}$.
\end{table}

\begin{exemple}
  Tel qu'expliquĂ© Ă&nbsp; la
  \autoref{sec:ordinateurs:conversion:10_vers_b}, le nombre
  $\frac{1}{2}$ possĂ¨de une reprĂ©sentation binaire exacte:
  \begin{align*}
    \frac{1}{2}
    &amp;= 2^{-1} \\
    &amp;= (-1)^0 \times 2^{\nombre{1022} - \nombre{1023}} \times 1,0.
  \end{align*}
  Puisque la reprĂ©sentation de l'exposant est $\nombre{1022}_{10} =
  1111111110_2$, la reprĂ©sentation interne de $\frac{1}{2}$ selon la
  norme IEEE~754 est
  \begin{center}
    \ieee{0}{01111111110}{00 \cdots 00}.
  \end{center}

  En revanche, le nombre $\frac{1}{10}$ n'a pas une reprĂ©sentation
  binaire finie. En utilisant
  l'\autoref{algo:ordinateurs:10_vers_b}, on trouve (le cĂ´tĂ©
  droit de l'Ă©galitĂ© Ă©tant en binaire):
  \begin{align*}
    \frac{1}{10}
    &amp;= 0,0001100110011001100110011001\dots \\
    &amp;= 2^{-4} \times 1,1001100110011001\dots \\
    &amp;= (-1)^0 \times 2^{\nombre{1019} - \nombre{1023}} \times
    1,1001100110011001\dots
  \end{align*}
  Or, $\nombre{1019}_{10} = 1111111011_2$, d'oĂą la reprĂ©sentation
  interne finie de $\frac{1}{10}$ est
  \begin{center}
    \ieee{0}{01111111011}{1001 \cdots 1001}.
  \end{center}
  Si l'on reconvertit ce nombre en dĂ©cimal, on obtient
  \begin{equation*}
    2^{-4} \times
    \left(
      1 + \sum_{k = 0}^{12} (2^{-4k - 1} + 2^{-4k - 4})
    \right),
  \end{equation*}
  un nombre prĂ¨s de, mais pas exactement Ă©gal Ă&nbsp;, $\frac{1}{10}$ (le
  programme de calcul en multiprĂ©cision \code{bc} donne
  $0,09999999999999999166$). DĂ¨s lors, la multiplication de ce nombre
  par $10$ ne donnera pas $1$. VoilĂ&nbsp; qui justifie le principe de
  programmation Ă©noncĂ© Ă&nbsp; la page \pageref{programming_principle}.%
  \qed
\end{exemple}

Les principales caractĂ©ristiques des nombres en double prĂ©cision sont
les suivantes.
\begin{enumerate}
\item Soit $x_{\text{max}}$ le plus grand nombre reprĂ©sentable. Parce
  que l'exposant $E = \nombre{2047}$ est rĂ©servĂ©, on a
  \begin{align*}
    x_{\text{max}}
    &amp;= \ieee{0}{11111111110}{11 \cdots 11} \\
    &amp;= (-1)^0 \times 2^{\nombre{1023}} \times 1,11\cdots11 \\
    &amp;= 2^{\nombre{1023}} \times (2 - 2^{-52}) \\
    &amp;= \nombre{1,797693} \times 10^{308}.
  \end{align*}
\item Soit $x_{\text{min}}$ le plus petit nombre normalisĂ©
  reprĂ©sentable. Parce que l'exposant $E = 0$ est rĂ©servĂ©, on a
  \begin{align*}
    x_{\text{min}}
    &amp;= \ieee{0}{00000000001}{00 \cdots 00} \\
    &amp;= (-1)^0 \times 2^{\nombre{-1022}} \times 1,00\cdots00 \\
    &amp;= 2^{\nombre{-1022}} \\
    &amp;= \nombre{2,225074} \times 10^{-308}.
  \end{align*}
  Afin de rendre la transition vers $0$ moins abrupte, la norme
  IEEE~754 dĂ©finit Ă©galement des nombres \emph{dĂ©normalisĂ©s}. Ceux-ci
  sont identifiĂ©s par $E = 0$ et une partie fractionnaire $F$ non
  nulle. Cependant, par dĂ©finition, les nombres dĂ©normalisĂ©s ont $E -
  e = -\nombre{1022}$ et leur bit cachĂ© est $0$. Par consĂ©quent, le
  plus petit nombre dĂ©normalisĂ© est stockĂ© sous la forme
  \begin{equation*}
    \ieee{0}{00000000000}{00 \cdots 01}
  \end{equation*}
  et sa valeur est
  \begin{align*}
    x_{\text{min}}
    &amp;= (-1)^0 \times 2^{\nombre{-1022}} \times 0,00\cdots01 \\
    &amp;= 2^{\nombre{-1022}} \times 2^{-52} \\
    &amp;= 2^{-\nombre{1074}} \\
    &amp;= \nombre{4,940656} \times 10^{-324}.
  \end{align*}
\item On a la mĂŞme Ă©tendue pour les nombres nĂ©gatifs, soit
  \begin{gather*}
    [\nombre{-1,797693} \times 10^{308},\,
     \nombre{-2,225074} \times 10^{-308}] \\
    \intertext{ou}
    [\nombre{-1,797693} \times 10^{308},\,
     \nombre{-4,940656} \times 10^{-324}].
  \end{gather*}
  en considĂ©rant les nombres dĂ©normalisĂ©s.
\item Soit $\varepsilon$ la plus petite valeur tel que $1 +
  \varepsilon \neq 1$ dans la reprĂ©sentation en virgule flottante.
  Cette valeur est appelĂ©e l'\emph{epsilon de la machine} ou la
  \emph{prĂ©cision de la machine}. Or, puisque
  \begin{equation*}
    1 = (-1)^0 \times 2^0 \times 1,00\cdots00,
  \end{equation*}
  le nombre suivant est
  \begin{equation*}
    (-1)^0 \times 2^0 \times 1,00\cdots01.
  \end{equation*}
  Par consĂ©quent, on a $\varepsilon = 2^{-52} = \nombre{2,220446}
  \times 10^{-16}$.
\item Tout nombre $x$ reprĂ©sente en fait un intervalle de
  $\mathbb{R}$. Par exemple, tout nombre dans l'intervalle $[1, 1 +
  \varepsilon)$ est reprĂ©sentĂ© par le nombre $1$ dans l'ordinateur.
\item On a un ensemble fini de nombres pour reprĂ©senter $\mathbb{R}$.
  Or, cet ensemble est plus dense prĂ¨s de $0$ que pour les grandes
  valeurs. En effet, le nombre suivant $x_{\text{min}}$ est
  \begin{align*}
    x_{\text{min}}^+
    &amp;= (1 + \varepsilon) \times 2^{-\nombre{1022}} \\
    &amp;= x_{\text{min}} + \varepsilon \times 2^{-\nombre{1022}} \\
    &amp;= x_{\text{min}} + 2^{-\nombre{1074}}, \\
    \intertext{alors que le nombre prĂ©cĂ©dant $x_{\text{max}}$ est}
    x_{\text{max}}^-
    &amp;= (2 - 2^{-52} - \varepsilon) \times 2^{\nombre{1023}} \\
    &amp;= x_{\text{max}} - \varepsilon \times 2^{\nombre{1023}} \\
    &amp;= x_{\text{max}} - 2^{971}.
  \end{align*}
  L'Ă©cart entre les deux plus petits nombres reprĂ©sentables est donc de
  $2^{-\nombre{1024}} \approx 10^{-324}$, alors que celui entre les deux plus
  grands est de $2^{971} \approx 10^{292}$!
\end{enumerate}

Tout calcul impliquant un nombre $x &gt; x_{\text{max}}$ ($x &lt;
-x_{\text{max}}$) entraine un \emph{dĂ©passement de capacitĂ©}.
Habituellement, cela entraine l'arrĂŞt immĂ©diat des calculs et un
rĂ©sultat de $+\infty$ ($-\infty$). Ă€ l'autre bout du spectre, un
calcul impliquant un nombre $x &lt; x_{\text{min}}$ entraine un
\emph{soupassement de capacitĂ©} et le rĂ©sultat est habituellement
considĂ©rĂ© Ă©gal Ă&nbsp; $0$.

R conserve dans une liste nommĂ©e \code{.Machine} les
valeurs mentionnĂ©es ci-dessus --- ainsi que plusieurs autres --- pour
l'architecture de l'ordinateur courant. Par exemple, on confirme les
valeurs de $\varepsilon_m$, $x_{\text{min}}$, $x_{\text{max}}$, $B$,
$m_f$ et $m_e$, dans l'ordre, pour l'architecture x86:
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
&gt; .Machine[c(1, 3:6, 11)]
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
$double.eps
[1] 2.220446e-16

$double.xmin
[1] 2.225074e-308

$double.xmax
[1] 1.797693e+308

$double.base
[1] 2

$double.digits
[1] 53

$double.exponent
[1] 11
\end{Soutput}
\end{Schunk}



\section{Ă‰lĂ©ments d'arithmĂ©tique en virgule flottante}
\label{sec:ordinateurs:arithmetique}

La section prĂ©cĂ©dente expliquait pourquoi les nombres stockĂ©s dans un
ordinateur ne sont pas toujours ceux que l'on croit --- ou que l'on
voudrait. Puisque l'ordinateur ne peut reprĂ©senter tous les nombres
rĂ©els, toute opĂ©ration arithmĂ©tique avec des nombres en virgule
flottante implique une erreur d'arrondi ou de troncature (selon
l'architecture de l'ordinateur) dont il importe de tenir compte lors
de la mise en oeuvre de certains algorithmes. Cette section prĂ©sente
quelques grands principes d'arithmĂ©tique en virgule flottante ainsi
que de bons usages pour minimiser les erreurs d'arrondi. Consulter les
ouvrages
\cite{Monahan:numstat:2001,Burden:numerical:2011,Knuth:ACP:vol2:1997},
entre autres, pour une discussion plus complĂ¨te de ce vaste sujet.

Aux fins de cette section, on note $\fl(x)$ la reprĂ©sentation en
virgule flottante du nombre nombre $x$ et l'on dĂ©finit la
reprĂ©sentation simplifiĂ©e
\begin{equation}
  \label{eq:ordinateurs:fl(x)}
  \fl(x) = (-1)^S \times 10^E \times 0,F,
\end{equation}
oĂą $F$ compte cinq chiffres significatifs, dont le dernier est arrondi.
Le \autoref{tab:arithmetic:simplified} fournit quelques exemples.

\begin{table}
  \caption{ReprĂ©sentation en virgule flottante simplifiĂ©e}
  \label{tab:arithmetic:simplified}
  \centering
  \begin{tabular}{r@{,}lr@{,}l}
    \toprule
    \multicolumn{2}{c}{$x$} &amp;
    \multicolumn{2}{c}{$\fl(x)$} \\
    \midrule
    $2$&amp;$5$       &amp; $0$&amp;$25000 \times 10^1$ \\
    $-42$&amp;$182$  &amp; $-0$&amp;$42182 \times 10^2$ \\
    $0$&amp;$214356$ &amp; $0$&amp;$21436 \times 10^0$ \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}

\begin{rem}
  Dans la norme IEEE~754, les rĂ¨gles d'arrondi de base sont:
  \begin{enumerate}
  \item arrondir Ă&nbsp; la valeur la plus prĂ¨s ($0,14$ devient $0,1$ et
    $\nombre{0,16}$ devient $0,2$);
  \item arrondir un nombre exactement Ă&nbsp; mi-chemin au nombre avec un
    dernier chiffre significatif pair ou nul ($0,05$ devient $0,0$
    alors que $\nombre{0,15}$ devient $0,2$).
  \end{enumerate}
\end{rem}


\subsection{Erreurs d'arrondi ou de troncature}
\label{sec:ordinateurs:arithmetique:erreurs}

Lors de l'addition et de la soustraction de nombres en virgule
flottante, on rend les exposants Ă©gaux en dĂ©plaĂ§ant les bits de la
mantisse du plus petit nombre vers la droite. Il en rĂ©sulte une perte
de bits significatifs et donc une \emph{erreur d'arrondi}. Dans les
cas extrĂŞmes oĂą les deux opĂ©randes sont de grandeur trĂ¨s diffĂ©rente,
le plus petit opĂ©rande devient nul suite Ă&nbsp; la perte de tous ses bits
significatifs.

La situation pour la multiplication et la division est quelque peu
diffĂ©rente, mais la source d'erreur d'arrondi demeure la mĂŞme.

Ă€ toute fin pratique, tout calcul fait naitre de l'erreur d'arrondi et
celle-ci augmente avec le nombre d'opĂ©rations. Les quelques principes
de programmation ci-dessous, lorsque suivis par le programmeur prudent
et consciencieux, permettent d'attĂ©nuer l'impact de l'erreur
d'arrondi.

\begin{enumerate}
\item L'addition et la soustraction en virgule flottante ne sont pas
  associatives. Additionner les nombres en ordre croissant de grandeur
  afin d'accumuler des bits significatifs.
\item Ă‰viter de soustraire un petit nombre d'un grand, ou alors le
  faire le plus tard possible dans la chaine des calculs.
\item Pour calculer une somme alternĂ©e, additionner tous les termes
  positifs et tous les termes nĂ©gatifs, puis faire la soustraction.
\item Multiplier et diviser des nombres d'un mĂŞme ordre de grandeur.
  Si $x$ et $y$ sont presque Ă©gaux, le calcul $x/y$ sera plus prĂ©cis
  en virgule flottante que $y^{-1} x$.
\end{enumerate}

Les exemples ci-dessous illustrent ces principes.

\begin{exemple}
  Soit $x = 7$, $y = 4$ et $z = \nombre{100000}$. Dans la
  reprĂ©sentation simplifiĂ©e \eqref{eq:ordinateurs:fl(x)}, on a $\fl(x)
  = 0,70000 \times 10^1$, $\fl(y) = 0,40000 \times 10^1$ et $\fl(z) =
  0,10000 \times 10^6$. Or, $x + y + z = \nombre{100011}$ et
  \begin{align*}
    [\fl(x) + \fl(y)] + \fl(z)
    &amp;= (0,70000 \times 10^1 + 0,40000 \times 10^1)
    + 0,10000  \times 10^6 \\
    &amp;= 0,11000 \times 10^2 + 0,10000 \times 10^6 \\
    &amp;= 0,00001 \times 10^6 + 0,10000 \times 10^6 \\
    &amp;= 0,10001 \times 10^6, \\
    \intertext{soit un rĂ©sultat raisonnablement prĂ©cis. Cependant,}
    \fl(x) + [\fl(y) + \fl(z)]
    &amp;= 0,70000 \times 10^1
    + (0,00000 \times 10^6 + 0,10000 \times 10^6) \\
    &amp;= 0,00000 \times 10^6 + 0,10000 \times 10^6 \\
    &amp;= 0,10000 \times 10^6.
  \end{align*}
  En effectuant les opĂ©rations dans un mauvais ordre, on obtient $x +
  y + z = z$ mĂŞme si $x \neq 0$ et $y \neq 0$. %
  \qed
\end{exemple}

\begin{exemple}
  Soit $x = 7$, $y = \nombre{100006}$ et $z = \nombre{100002}$. On a
  $z - y - x = -11$. Or,
  \begin{align*}
    \fl(z) - [\fl(y) + \fl(x)]
    &amp;= 0,10000 \times 10^6
    - (0,10000 \times 10^6 + 0,00000 \times 10^6) \\
    &amp;= 0,00000 \times 10^0,
    \intertext{alors que}
    [\fl(z) - \fl(y)] - \fl(x)
    &amp;= (0,10000 \times 10^6 - 0,10000 \times 10^6) -
    0,70000 \times 10^1 \\
    &amp;= 0,00000 \times 10^1 - 0,70000 \times 10^1 \\
    &amp;= -0,70000 \times 10^1.
  \end{align*}
  \qed
\end{exemple}

L'exemple suivant est adaptĂ© de \cite{Monahan:numstat:2001}.

\begin{exemple}
  L'Ă©valuation numĂ©rique de probabilitĂ©s loin dans les queues d'une
  fonction de rĂ©partition peut s'avĂ©rer imprĂ©cise selon la technique
  employĂ©e. Par exemple, la fonction de rĂ©partition de la distribution
  logistique est
  \begin{equation*}
    F(x) = (1 + e^{-x})^{-1}.
  \end{equation*}
  La vraie valeur de $\operatorname{Pr}[X &gt; 6]$ est $1 - F(6) = 1 - (1
  + e^{-6})^{-1} = \nombre{0,002472623}$. L'Ă©valuation de cette
  probabilitĂ© dans notre reprĂ©sentation en virgule flottante avec la
  formule ci-dessus est
  \begin{align*}
    1 - [1 \div (1 + \fl(e^{-6}))]
    &amp;= 1 - [1 \div (1 + 0,24788 \times 10^{-2})] \\
    &amp;= 1 - [0,10000 \times 10^1 \div 0,10025 \times 10^1)] \\
    &amp;= 1 - 0,99751 \times 10^0 \\
    &amp;= 0,10000 \times 10^1 - 0,09975 \times 10^1 \\
    &amp;= 0,25000 \times 10^{-2}.
  \end{align*}
  (Nous n'avons pas Ă©crit les entiers en virgule flottante ci-dessus
  pour allĂ©ger la notation.) Toutefois, si l'on utilise plutĂ´t la
  formule Ă©quivalente
  \begin{align*}
    1 - F(6)
    &amp;= \frac{e^{-6}}{1 + e^{-6}} \\
    &amp;= \frac{1}{1 + e^6}
  \end{align*}
  dans laquelle l'opĂ©ration de soustraction entre deux nombres presque
  Ă©gaux est dĂ©jĂ&nbsp; effectuĂ©e, on obtient le rĂ©sultat bien plus prĂ©cis
  \begin{align*}
    1 \div (1 + \fl(e^6))
    &amp;= 1 \div (1 + 0,40343 \times 10^3)) \\
    &amp;= 1 \div (0,00100 \times 10^3 + 0,40343 \times 10^3) \\
    &amp;= 1 \div 0,40443 \times 10^3 \\
    &amp;= 0,24726 \times 10^{-2}.
  \end{align*}
  \qed
\end{exemple}

Les deux principes ci-dessous permettent d'Ă©viter des dĂ©passements ou
des soupassements de capacitĂ© et d'amĂ©liorer la prĂ©cision des calculs.

\begin{enumerate}
\item Chercher des formules mathĂ©matiques Ă©quivalentes Ă©vitant de
  devoir traiter des trĂ¨s grands ou des trĂ¨s petits nombres.
\item Travailler en Ă©chelle logarithmique. Par exemple, le produit de
  deux grands nombres $x$ et $y$ dĂ©passera la capacitĂ© plus tard et
  demeurera prĂ©cis plus longtemps s'il est calculĂ© sous la forme
  $e^{\log x + \log y}$.
\end{enumerate}

\begin{exemple}
  Soit $X_1, \dots, X_n$ un Ă©chantillon alĂ©atoire tirĂ© d'une
  distribution de Pareto translatĂ©e, dont la fonction de rĂ©partition est
  \begin{equation*}
    F(x; \mu, \alpha) = 1 -
    \left(
      \frac{\mu}{x}
    \right)^{\alpha}, \quad x &gt; \mu.
  \end{equation*}
  On peut dĂ©montrer que l'estimateur du maximum de vraisemblance de
  $\alpha$ est
  \begin{equation*}
    \hat{\alpha} = \frac{n}{\ln (X_1 \cdots X_n/X_{(1)}^n)},
  \end{equation*}
  oĂą $X_{(1)} = \min (X_1, \dots, X_n)$. Soit \code{x} un objet R
  contenant un Ă©chantillon de $\nombre{1000}$ valeurs d'une distribution
  Pareto translatĂ©e de moyenne $\nombre{5000}$ (le contenu de cet objet
  n'est pas affichĂ© ici pour des raisons Ă©videntes). Le calcul de
  l'estimateur $\hat{\alpha}$ directement par la formule entraine
  rapidement un dĂ©passement de capacitĂ©, tant lors du produit $X_1
  \cdots X_n$ que lors de l'opĂ©ration $X_{(1)}^n$:
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
&gt; prod(x)
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] Inf
\end{Soutput}
\begin{Sinput}
&gt; min(x)^length(x)
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] Inf
\end{Soutput}
\end{Schunk}
  Le rĂ©sultat est donc \code{NaN}:
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
&gt; length(x)/log(prod(x)/min(x)^length(x))
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] NaN
\end{Soutput}
\end{Schunk}
  Selon la grandeur des donnĂ©es dans l'Ă©chantillon, la formule
  Ă©quivalente
  \begin{displaymath}
    \hat{\alpha} = \frac{n}{\ln \prod_{i = 1}^n X_i/X_{(1)}}
  \end{displaymath}
  peut Ă©viter le dĂ©passement de capacitĂ©. Elle n'est toutefois d'aucun
  secours dans le prĂ©sent exemple:
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
&gt; length(x)/log(prod(x/min(x)))
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 0
\end{Soutput}
\end{Schunk}
  On remarquera de plus que cette approche nĂ©cessite un grand nombre
  de multiplications (voir la
  \autoref{sec:ordinateurs:arithmetique:cout}), en plus d'ouvrir
  la porte Ă&nbsp; des erreurs d'arrondi.

  Pour obtenir une rĂ©ponse on utilisera plutĂ´t une autre formule
  algĂ©briquement Ă©quivalente:
  \begin{displaymath}
    \hat{\alpha} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \ln X_i - n \ln X_{(1)}}.
  \end{displaymath}
  On obtient alors
\begin{Schunk}
\begin{Sinput}
&gt; length(x)/(sum(log(x)) - length(x) * log(min(x)))
\end{Sinput}
\begin{Soutput}
[1] 1.405529
\end{Soutput}
\end{Schunk}
  Cet exemple illustre combien des calculs \emph{algĂ©briquement}
  Ă©quivalents ne sont pas nĂ©cessairement \emph{numĂ©riquement}
  Ă©quivalents. %
  \qed
\end{exemple}


\subsection{Cout des opĂ©rations}
\label{sec:ordinateurs:arithmetique:cout}

Les ordinateurs modernes disposent d'une unitĂ© de calcul en virgule
flottante (FPU) intĂ©grĂ©e au processeur. Cette unitĂ© est Ă©videmment
trĂ¨s optimisĂ©e et, par consĂ©quent, elle accĂ©lĂ¨re beaucoup le calcul en
virgule flottante. NĂ©anmoins, certaines opĂ©rations sont plus couteuses
Ă&nbsp; rĂ©aliser que d'autres en termes de temps de calcul. Ă€ titre
indicatif, on trouve au \autoref{tab:ordinateurs:cout} le cout
relatif approximatif de quelques opĂ©rations en virgule flottante.
\begin{table}
  \centering
  \caption{Cout relatif de quelques opĂ©rations en virgule flottante}
  \label{tab:ordinateurs:cout}
  \begin{tabular}{lr}
    \toprule
    OpĂ©ration arithmĂ©tique &amp; Cout relatif \\
    \midrule
    Addition et soustraction &amp; $1,0$ \\
    Multiplication           &amp; $1,3$ \\
    Division                 &amp; $3,0$ \\
    Racine carrĂ©e            &amp; $4,0$ \\
    Logarithme               &amp; $15,4$ \\
    \bottomrule
  \end{tabular}
\end{table}

Ă€ titre d'exemple, considĂ©rons le calcul d'une simple moyenne
arithmĂ©tique
\begin{equation*}
  \bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n x_i.
\end{equation*}
Si l'on effectue le calcul tel qu'Ă©crit ci-dessus, cela requiert $n -
1$ additions et une division. En revanche, le calcul Ă©quivalent
\begin{equation*}
  \bar{x} = \sum_{i = 1}^n \frac{x_i}{n},
\end{equation*}
requiert $n - 1$ divisions et $n - 1$ additions. Pour $n$ grand
utiliser la premiĂ¨re approche plutĂ´t que la seconde fera une
diffĂ©rence.



\section{Codage de caractĂ¨res}
\label{sec:ordinateurs:codage}

Pendant que l'on discute de la reprĂ©sentation interne des nombres dans
un ordinateur, on peut toucher un mot de la reprĂ©sentation interne, ou
le codage, des caractĂ¨res. Ce sujet demeure une cible mouvante puisque
de nouveaux standards apparaissent encore aprĂ¨s de nombreuses annĂ©es
de systĂ¨mes incompatibles et basĂ©s sur la langue anglaise.

Peu importe le systĂ¨me retenu, les caractĂ¨res doivent ĂŞtre codĂ©s en
binaire dans l'ordinateur. La partie la plus difficile consiste Ă&nbsp;
crĂ©er un systĂ¨me standard permettant aux ordinateurs et autres
appareils numĂ©riques de communiquer entre eux. Le premier standard
d'usage courant fut le Code amĂ©ricain normalisĂ© pour l'Ă©change
d'information, mieux connu sous son acronyme ASCII \citep{ASCII}. La
norme ASCII dĂ©finit des codes numĂ©riques pour 128 caractĂ¨res, soit 95
affichables (lettres, chiffres, symboles divers et l'espace) et 33 non
affichables (essentiellement des caractĂ¨res de contrĂ´le tels que saut
de ligne, retour de chariot ou espacement arriĂ¨re).

Ă€ titre d'exemple, les lettres majuscules A--Z occupent les cases
$65$--$90$ ($1000001$--$1011010$ en binaire) alors que les lettres
minuscules a--z occupent les cases $97$--$122$ ($1100001$--$1101010$
en binaire). On constate que les versions majuscule et minuscule d'une
mĂŞme lettre ne diffĂ¨rent, dans leur reprĂ©sentation binaire, que par
leur second bit le plus significatif. Le changement de casse d'une
lettre ou d'un mot est donc une opĂ©ration trĂ¨s simple et rapide.

La reprĂ©sentation ASCII ne requiert en soi que sept bits. NĂ©anmoins,
on a rapidement codĂ© les caractĂ¨res sur un octet (huit bits) puisqu'il
s'agit du type de donnĂ©e natif des ordinateurs depuis les annĂ©es 1970.
L'ajout d'un bit a crĂ©Ă© de l'espace pour 128 caractĂ¨res additionnels
(cases 128--255). Une myriade de systĂ¨mes de codage diffĂ©rents sont
alors apparus pour supporter les caractĂ¨res des langues autres que
l'anglais (les caractĂ¨res accentuĂ©s, par exemple) ainsi que d'autres
symboles graphiques. La norme ISO~8859-1, ou Latin~1
\citep{ISO:8859-1}, a fini par s'imposer comme l'un des standards les
plus rĂ©pandus. Ces listes de codes fixes se rĂ©vĂ¨lent toutefois
problĂ©matiques lors de l'apparition d'un nouveau symbole. Par exemple,
pour faire de la place pour le symbole de l'euro Ă&nbsp; la fin des annĂ©es
1990, il a fallu retirer un symbole de ISO~8859-1. Avec quelques
autres changements, la nouvelle liste de code est devenue ISO~8859-15.
De plus, comment doit-on traiter les langues CJC (chinois, japonais,
corĂ©en) qui comptent des milliers de symboles diffĂ©rents?

Depuis le dĂ©but des annĂ©es 1990, la mondialisation de l'informatique a
suscitĂ© un effort concertĂ© de crĂ©ation d'un systĂ¨me de codage standard
couvrant la presque totalitĂ© des systĂ¨mes d'Ă©criture du monde. Le
systĂ¨me devait aussi permettre la composition de textes en plusieurs
langues, par exemple en franĂ§ais et dans une Ă©criture de droite Ă&nbsp;
gauche comme l'hĂ©breu ou l'arabe. Le standard ainsi crĂ©Ă© est Unicode
\citep{Unicode:5.0}. Le plus populaire systĂ¨me de codage capable de
reprĂ©senter l'ensemble des caractĂ¨res Unicode est \emph{Unicode
  Transformation Format} 8~bits, ou UTF-8 \citep[section
3.9]{Unicode:5.0}. Dans l'UTF-8, chaque caractĂ¨re est codĂ© sur une
suite d'un Ă&nbsp; quatre octets et les premiers 128 caractĂ¨res sont
identiques Ă&nbsp; la norme ASCII. L'UTF-8 est le systĂ¨me de codage par
dĂ©faut dans macOS et les plus rĂ©centes distributions GNU/Linux.

Le systĂ¨me R supporte les caractĂ¨res multi-octets de maniĂ¨re assez
exhaustive. Sans doute aidĂ©s en cela par le fait qu'il s'agit d'un
projet international, les dĂ©veloppeurs de R ont mis beaucoup d'effort
pour assurer l'internationalisation et la localisation du logiciel;
voir \cite{Ripley:Rnews:2005a}.

\bibliography{exercices}  % production de la bibliographie

\end{document}
</pre></body></html>